Рекурентная последовательность

[Руст]

Определим рекурентную последовательность $a(n)$ по формуле:
$ a(n)=x(n-1)-n[\frac{x(n-1)}{n}]=x(n-1)(mod \ n),$ $ x(n)=x(n-1)+a(n).$
1. Доказать, что последовательность $a(n)$ стабилизируется тогда и только тогда, когда $x$ рациональное число.
Далее $x$ рациональное число.
Обозначим через $m=m(x)$ минимальное натуральное число $k$, начиная с которого $b(x)=a(k)=a(k+1)=a(k+2)=...$, а стабильное значение через $b(x)$.
2. Оценить сверху число $m(x)$.
3. Может ли стабильное значение $b(x)$ приниматься до стабилизации?

[evgeny]

А что такое x - начало последовательности x(n)?
Тогда при стабилизации для $\forall n>m\ \ x(n) = x_0 + b(n+1)$
тогда $b = x_0 + bn - n\left[\frac{x_0+bn}{n}\right] = n\{b\} + x_0-\left[\frac bn\right]$, что невозномжно при $\{b\}>0$, следовательно b целое (и $x_0=b$) т.е. при n>m $x(n)\in{\mathbb Z}$.
Раз $x(n+1)=2x(n)-(n+1)c_{n+1} = (n+1)c_{n+1} + 2a(n)$, то восстановить предыдущее значение x(n) можно двумя способами.
Но при любом восстановлении получаем $x(n) \in{\mathbb Z}[\frac12]$, т.е. $x = \frac{A}{2^k}$

В самом деле для x=1/3 стабилизации не будет:

$$ \begin{array}{ccrcccr} x(0)&=&\frac 13 && a(1)&=&\frac 13\\ x(1)&=&\frac 23 && a(2)&=&\frac 23\\ x(2)&=&1\frac 13 && a(3)&=&1\frac 13\\ x(3)&=&2\frac 23 && a(4)&=&2\frac 23\\ x(4)&=&5\frac 13 && a(5)&=&\frac 13\\ x(5)&=&5\frac 23 && a(6)&=&5\frac 23\\ ...&&...&&...&&...\\ x(2k)&=&z_{2k}\frac 13 && a(2k+1)&=&y_{2k+1}\frac 13\\ x(2k+1)&=&z_{2k+1}\frac 23 && a(2k+2)&=&y_{2k+2}\frac 23\\ ...&&...&&...&&...\\ \end{array} $$

Или я что-то неправильно понял в условии

[незваный гость]

Я полагаю, нас удачно запутали обозначения. Имеется в виду видимо:
$ a_{n} = x_{n-1} - n\lfloor \frac{x_{n-1}}{n}\rfloor = x_{n-1} ({\rm mod} \ n)$, $ x_{n} = x_{n-1} + a_{n}$, $x_0 = x$.

[Руст]

Приношу свои извинения. Задача была изначально для натуральных х. Очевидно, что для иррациональных не наступит стабилизации. Для рациональных я не проверяя принял, что через какое то количество шагов образуется целое число. Так что 1 пункт вместо рационального надо поставить число вида дроби, знаменатель которой степень двойки.
Что касается о наступлении стабилизации вы сдвинули нумерацию для последовательности х.