Невозможность непрерывного биективного отображения

[Anton_Peplov]

_Y_ в сообщении #1188006 писал(а):

Но там, наверное, приведено примерно то, о чём пишет DeBill?

Да, примерно это и написано.

_Y_ в сообщении #1188006 писал(а):

Скажите, а нет ли каких-нибудь "геометрических" построений оного?

"геометрия" в наивном (школьном) смысле имеет дело с непрерывными линиями, а непрерывная биекция с отрезка на квадрат невозможна, Вы сами это доказали только что. А при углублении в предмет теряется различие между "геометрическими" и "негеометрическими" разделами математики. Скажем, ту же общую топологию некоторые относят к "геометрии в широком смысле". Или вот теория конечномерных линейных пространств - она по методу в чистом виде линейная алгебра, но по смыслу вполне себе геометрия (векторы, плоскости, базисы, координаты...). Так что, пока Вы не сформулируете более точно, какую именно биекцию Вы хотите, боюсь, будет трудно Вам помочь.

[_Y_]

Антон, нашёл ту тему. Спасибо. Почитаю на досуге. Но там они "исправляют" очевидное отображение, которое предложил DeBill. Вам точно не известны более простые построения?

Насчёт "геометрического построения". Сейчас вспоминается доказательство равномощности отрезка и квадрата через "раскручивание" квадрата и построения отображения по типу стереографической проекции. Но я уже не помню. Скорее всего, это была не биекция. Я думал, может кому-то это всё известно. Но нет, так нет.

Главный мой вопрос мы уже решили. Еще раз Вам спасибо!

[Anton_Peplov]

_Y_ в сообщении #1188012 писал(а):

Вам точно не известны более простые построения?

Мне - не известны, но я не специалист и вообще не математик по образованию.

_Y_ в сообщении #1188012 писал(а):

доказательство равномощности

_Y_ в сообщении #1188012 писал(а):

Скорее всего, это была не биекция.

Эти два пункта плохо согласуются друг с другом. Разве что там применялась теорема Кантора-Бернштейна. Строилась биекция с с отрезка на подмножество квадрата (что тривиально), а потом с подмножества отрезка на квадрат (что нетривиально, и, кажется, ничуть не легче, чем просто построить биекцию между отрезком и квадратом).

[_Y_]

Ну, с моей точки зрения, самое простое доказательство равномощности отрезка и квадрата как-раз использует теорему Кантора-Бернштейна.

Я имел ввиду, что скорее всего, в том доказательстве используется именно она.

Жаль, что Вам неизвестно несложное построение данной биекции. Тогда, на этом, вопрос исчерпан.

[Sender]

Anton_Peplov, vpb, спасибо.

[Brukvalub]

_Y_ в сообщении #1188047 писал(а):

Жаль, что Вам неизвестно несложное построение данной биекции.

А "несложное" построение вряд ли вообще возможно. Непрерывной биекцией такое отображение быть не может, а сильно разрывные биекции "на пальцах" не строятся.

[Terran]

Sender в сообщении #1187971 писал(а):

Интересно, существует ли столь же простое доказательство того, что $\mathbb{R}^n$ невозможно непрерывно биективно отобразить на $\mathbb{R}^{n+1}$? Похоже, должна как-то применяться линейная связность, например, в $\mathbb{R}^3$ можно себе представить, скажем, два кольца, продетых друг сквозь друга, в отличие от $\mathbb{R}^2$.

Да, думаю, можно так: все точки $\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{R}^m$ внутренние, поэтому, если существует гомеоморфизм между ними, то существует и гомеоморфизм между $\mathbb{R}^n\backslash pt$ и $\mathbb{R}^m\backslash pt$. Последние гомеоморфны $S^n\times \mathbb{R} $ и $S^m\times \mathbb{R}$. А так как сферы $S^n$ и $S^m$ при $m\neq n$ имеют разные гомотопические группы, то они не могут быть гомеоморфны (они гомотопически не эквивалентны).

Anton_Peplov в сообщении #1187980 писал(а):

"гомеоморфизм сохраняет размерность".

Это довольно непростая теорема, на которую, мне кажется, было бы странно опираться при док-ве негомеоморфности $\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{R}^m$, т.к. эта теорема сама опирается на этот факт, если не ошибаюсь.

[Anton_Peplov]

Terran в сообщении #1188371 писал(а):

Это довольно непростая теорема

Не знаю, не читал ее доказательство. Гомеоморфизм сохраняет любые чисто топологические свойства. А то, что размерность является чисто топологическим свойством, очевидно из ее определения. Поэтому вникать в доказательство того, что размерность сохраняется при гомеоморфизме, я счел излишним: посмотрел для очистки совести в учебнике, что такая теорема есть, и ладушки.

Terran в сообщении #1188371 писал(а):

было бы странно опираться при док-ве негомеоморфности $\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{R}^m$, т.к. эта теорема сама опирается на этот факт, если не ошибаюсь.

Не может доказательство теоремы о произвольном топологическом пространстве, с $\mathbb{R}^n$ в общем случае никак не связанном, опираться на этот факт. Мне кажется, Вы думаете о многообразиях. Многообразия - да, локально гомеоморфны $\mathbb{R}^n$, и этот факт может использоваться в каких-то доказательствах. Но размерность бывает не только у многообразий.