Вырожденный релятивистский электронный газ

[ElectricDrive]

В §57 [Теоретическая физика (в 10 томах). Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Том 5. Статистическая физика] для вырожденного нерелятивистского электронного газа граничная энергия Ферми приравнивается к кинетической через граничный импульс $\varepsilon_{f} = \frac{p_{f}^{2}}{2\cdot m}$ и полная энергия газа рассчитывается через кинетическую
$E=\frac{V}{2\cdot m\cdot \pi^{2}\cdot \hbar^{3}}\int\limits_{0}^{p_{f}}p^{4}dp$ (перед 57.6)
Почему для релятивистского газа в решении задачи 3 после §61 используется уже полная энергия частицы $\varepsilon^{2} = p^{2}\cdot c^{2} +m^{2}\cdot c^{4}$ и подставляется в энергию газа?
$E=\frac{V\cdot c}{\pi^{2}\cdot \hbar^{3}}\int\limits_{0}^{p_{f}}p^{2}\sqrt{m^{2}\cdot c^{2}+p^{2}}dp$
вместо кинетической $\varepsilon_{k}=\sqrt{p^{2}\cdot c^{2} +m^{2}\cdot c^{4}}-m\cdot c^{2}=c\cdot \left (\sqrt{p^{2}+m^{2}\cdot c^{2}}-m\cdot c\right )$ , при которой энергия газа должна быть
$E=\frac{V\cdot c}{\pi^{2}\cdot \hbar^{3}}\int\limits_{0}^{p_{f}}p^{2}\left (\sqrt{p^{2}+m^{2}\cdot c^{2}}-m\cdot c\right )dp$

[Metford]

В релятивистском случае кинетическую энергию не выделяют: бессмысленно. В нерелятивистской теории в полную энергию входит помимо кинетической энергии ещё и потенциальная. В СТО потенциальную энергию ввести нельзя.

[Kamaz]

В нерелятивистском электронном газе учтена только статистика и газ считается невзаимодействующим, так, что никакой потенциальной энергии там нет. Видимо, там вычисляется полная энергия газа. Поскольку он идеальный, в релятивистском случае надо учесть энергию покоя.

[ElectricDrive]

Нерелятивистское решение должно быть приближённым решением релятивистского решения при скоростях много меньших световой. То есть $\varepsilon = \frac{p^{2}}{2\cdot m}$ является приближением от $\varepsilon=\sqrt{p^{2}\cdot c^{2} +m^{2}\cdot c^{4}}-m\cdot c^{2}\approx \frac{p^{2}\cdot c^{2}}{2}$

Metford в сообщении #1187812 писал(а):

В релятивистском случае кинетическую энергию не выделяют: бессмысленно.

Бессмысленно в ультрарелятивистском случае, в котором $\varepsilon_{f} = c\cdot p_{f}$ и который описан в §61 до задачи.

Metford в сообщении #1187812 писал(а):

В нерелятивистской теории в полную энергию входит помимо кинетической энергии ещё и потенциальная. В СТО потенциальную энергию ввести нельзя.

Рассматривается случай с невзаимодействующими частицами при температуре 0 K, соответственно в моём вопросе выше потенциальной нет.

Kamaz в сообщении #1187814 писал(а):

в релятивистском случае надо учесть энергию покоя.

Если энергия покоя учитывается в релятивистском случае, то она должна быть учтена и в нерелятивистском случае, но это не так. Пренебрегать ею можно в ультрарелятивистском случае, что и сделано в §61 перед задачей.

[Metford]

ElectricDrive в сообщении #1187829 писал(а):

в моём вопросе выше потенциальной нет.

Её не то что в Вашем вопросе - её в той части теории вообще нет. Вам очень точно ответил Kamaz. В СТО кинетическая энергия - это просто формально вычисленная разность энергии и энергии покоя - почему её-то нужно брать? Есть полная энергия, вот с ней и проводится вычисление. В нерелятивистском случае с движением связана только кинетическая энергия (а в принципе может быть и потенциальная энергия, но для идеального газа её нет). Поэтому в параграфе 57 именно её при расчёте и используют.