Рассеяние свободных электронов

[Astroid]

Добрый день!

Волнует вопрос: будут ли рассеиваться свободные электроны в идеальном кристалле?
В учебнике пишут, что энергия электронной волны рассеиваться не будет вследствие строго периодического потенциального поля, создаваемого решеткой. И вот тут у меня вопрос. Если бы дело происходило в механической системе "без потерь", то понятное дело, что материальноя точка может скакать по потенциальным ямам сколь угодно долго, если только ее начальная энергия $E>E_p$, где $E_p$ - энергия ямы. Теперь обратно к электрону. Его движение по кристаллу можно заменить покоящимся электроном, на который действует периодическая внешняя сила, а такая система должна излучать вследствие ускоренного движения электрона. Следовательно, свободные электроны должны рассеиваться в строго периодическом кристалле и не должны иметь "бесконечной длины свободного пробега"(тоже выдержка из книги).

Буду благодарен, если кто-то укажет мне на ошибки в моем рассуждении.

[madschumacher]

Astroid в сообщении #1187463 писал(а):

Если бы дело происходило в механической системе "без потерь", то понятное дело, что материальноя точка может скакать по потенциальным ямам сколь угодно долго, если только ее начальная энергия $E>E_p$, где $E_p$ - энергия ямы.

Не совсем. В Квантовой Механике про надбарьерное отражение слышали?

(пример)

Например, вероятность прохождения точки через барьер с формой "парабола ветвями вниз" имеет вид $p(\Delta E) = \frac{1}{1+ \exp\left( - 2 \pi \frac{\Delta E}{h \nu}\right)}$, где $\Delta E = E_\mathrm{total} - E_\mathrm{barrier \ height}$ -- разность полной энергии частицы $E_\mathrm{total}$ и высоты барьера $E_\mathrm{barrier \ height}$, а $\nu = \sqrt{\frac{-V^{\prime \prime}}{m}}$ -- формальная частота, отражающая кривизну барьера на максимуме. При $\Delta E > 0$ -- это случай надбарьерного прохождения. Ну так, для такой частицы, встретившей этот барьер $n$ раз, очевидно, вероятность прохождения через них равна $p_n = p^n(\Delta E) $, что, очевидно соответствует $\lim_{n \rightarrow \infty} p_n = 0$...

Astroid в сообщении #1187463 писал(а):

Волнует вопрос: будут ли рассеиваться свободные электроны в идеальном кристалле?

А про такую штуку, как электронная микроскопия и электронная дифракция на кристаллах Вы слышали? (правда, там конечно, кристаллы не идеальные -- "просвечиваться" будут только ооочень тонкие образцы, т.к. электроны имеют свойство рассеиваться и вступать в веществах в различные паразитные процессы, из-за чего длина пробега в ТТ сильно невелика).

[Astroid]

Курса квантовой механики еще не проходил, про надбарьерное отражение не слышал. Не совсем, правда, понимаю, к чему в простой механической системе квантовые эффекты.
UPD: не заметил вашего примера. Он как раз сыграл в пользу моей точки зрения, хоть и с другого ракурса
Знаком только с дифракций РГ-лучей на кристаллах, но это, видимо, из другой оперы.
Я приблизительно понимаю, что всякого рода дефекты будут создавать поле, отличное от однородного поля решетки и это будет мешать электрону двигаться, но вопрос-то про идеальный кристалл.
И да, естественно, подразумевается что температура равна нулю.

[madschumacher]

Astroid в сообщении #1187468 писал(а):

Не совсем, правда, понимаю, к чему в простой механической системе квантовые эффекты.

электрон -- вполне себе квантовый объект. (тем более как Вы себе представляете дифракцию частицы с использованием законов классической механики?! )

Astroid в сообщении #1187468 писал(а):

Знаком только с дифракций РГ-лучей на кристаллах, но это, видимо, из другой оперы.

Да нет -- суть очень похожая (даже мат.аппарат почти тот же, например, закон Брегга-Вульфа в электронной кристаллографии тоже работает).

Astroid в сообщении #1187468 писал(а):

но вопрос-то про идеальный кристалл.

под идеальным кристаллом обычно (насколько я знаю) подразумевают бесконечный кристалл без дефектов. Тут, имхо, вопрос терминологический. При анализе дифракционной картины от электронов (как, впрочем, и от X-rays и от нейтронов) используются формулы, полученные в приближении идеального кристалла (тот же закон Брегга-Вульфа). При усложнении анализа неидеальность кристалла тоже можно учитывать (например, оценивать размер зоны когерентного рассеяния из формы пиков, прикидывать положения неоднородностей в решётке по слабым пикам и т.д.). Бесконечного кристалла всё равно в природе не бывает (даже самые качественные монокристаллы состоят из кристаллитов размером порядка микрометров, как-то расположенных друг относительно друга), а при учёте всех эффектов (отражения, побочных процессов), даже Рентгеновские лучи и нейтроны по дороге в бесконечном и бездефектном кристалле будут теряться. Поэтому я не очень понимаю как на этот вопрос ответить (надеюсь другие участники помогут, и если я где-то соврал, исправят).
-- 26.01.2017, 05:55 --

UPD: что-то я подумал, подумал, и на вопрос

Astroid в сообщении #1187463 писал(а):

будут ли рассеиваться свободные электроны в идеальном кристалле?

наверное стоит ответить да. Ну, чем дальше в лес, тем толще партизаны больше длина пробега, тем меньше электронов останется, но до этого то они вполне себе рассеются. только вот что-то рассуждения с излучающим электроном меня смущают (не -- такие процессы могут быть, но, имхо, их вероятность будет сильно разная при разных энергиях налетающих электронов).

[Kamaz]

Нет, в идеальном периодическом кристаллическом поле электрон движется как свободный. Взаимодействие электрона с решеткой приводит к перенормировке его характеристик - вместо голой массы появляется эффективная, вместо импульса - квазиимпульс. После такой перенормировки движение электрона становится свободным.

[Munin]

Astroid в сообщении #1187463 писал(а):

Теперь обратно к электрону. Его движение по кристаллу можно заменить покоящимся электроном, на который действует периодическая внешняя сила, а такая система должна излучать вследствие ускоренного движения электрона.

На самом деле, движущийся электрон надо уподобить электрону на некотором уровне в атоме.

И здесь есть два взгляда.
1. С точки зрения "чистой" квантовой механики, такой электрон будет находиться на своём уровне вечно, и не излучать. То же относится и к движению электрона по кристаллу (и реально очень хорошо выполняется).
2. С точки зрения "практической", такой электрон будет излучать спонтанно фотоны, пока не свалится на самый нижний уровень, и будет на нём оставаться вечно. То же будет и с электроном в кристалле, но вовсе не из-за периодической внешней силы, а просто из-за того, что уровень электрона - не наинизший. Такой кристалл с электроном будет излучать тепловое излучение, и постепенно остывать. Когда всё излучит - тогда он будет иметь температуру абсолютный нуль, а электроны в нём будут в наинизших состояниях - ниже уровня Ферми, в состоянии вырожденного газа Ферми-Дирака. Они, хоть и будут продолжать двигаться, уже не смогут ничего излучить.

[Astroid]

Спасибо всем за ответы.
Я изначально по наивности неверно предположил, что процессы в кристаллической решетке можно описать используя сугубо классическую электродинамику.
Стало понятно, что природа этого равномерного бесконечного движения обусловлена квантовыми эффектами. Буду ждать следующего семестра, в котором у меня наконец появится этот магический предмет.

[Munin]

Кристаллическая решётка и электроны в ней - классический пример сугубо квантовой системы. Только с появлением квантового описания, стали известны и понятны многие явления и эффекты (закон Ома, теплоёмкость, магнетизм, да почти всё, практически: очень сложно найти явление в твёрдом теле, которое можно понять классически).