И снова уравнение в ЦНЧ

[Ktina]

Решить в целых неотрицательных числах уравнение

$$6^n+7=m^{k+2}$$

[EUgeneUS]

$n=0$, $m=2$, $n=1$

[gris]

Что, если перенести $7$ вправо. Тогда можно номинировать на $m$ числа, кончающиеся на $3$, но на $3$ не делящиеся, а на $k$ числа вида $5^k-2$. Ну то есть переписать уравнение в виде $6^n=(30m+13)^{5k+5}-7;6^n=(30m+23)^{5k+5}-7$.
Видно, что кроме указанного решения $6^0+7=8^3$ подходящих маленьких степеней $6$ нет. Ну, по крайней мере, они больше куба. То есть правые части переписанных уравнений должны делиться на $216$ по крайней мере, а это как-то сомнительно. Я голосую за то, что решений больше нету.
А можно и так: а может ли какая-то натуральная степень шести плюс семь быть пятой степенью натурального числа?

Кстати, задумался над тем, насколько степени натуральных чисел могут быть близки (ну кроме тривиальных случаев). Вот: $3^2-2^3=1; 5^3-11^2=4; $. А ещё?
Натурально, полез в OEIS с запросом $1,4,8,9,16,25,27,36,49,64,81...$ чая увидеть последовательность степеней натуральных чисел с показателем, большим единицы. А их там нет
+++ $32$ пропустил

[ИСН]

Как это нет: A001597.

[grizzly]

gris в сообщении #1187297 писал(а):

Кстати, задумался над тем, насколько степени натуральных чисел могут быть близки (ну кроме тривиальных случаев).

См. Pillai's conjecture. Ваш вопрос -- открытая проблема. Но если верить в существование доказательства ABC-гипотезы, то доказывается более общее утверждение.

[gris]

Да, есть. Как же я смотрел? Ведь все варианты перебирал...
А хорошо в чём-то не разбираться! Призадумашься слегка, а это — открытая проблема, или гипотеза, или дискриминант