Краевая задача

[Searcher]

Дана задача:
$ y'' + 2*y' - y^{2} = \frac {e^{-x}} {x} ; $\\ при начальных условиях: \\ y_{0} = 1; y_{1}' = 0;

Нужно решить данную краевую задачу. Но я никак не могу подступиться к решению...

Сначала я воспользовался разностными схемами:
y_{i+1}' = \frac{y_{i+1} - y_{i}}{h}}; \\ y_{i+1}'' = \frac{y_{i+1} - 2*y_{i} + y_{i-1}}{h^{2}}}; \\

Соответственно получая такую штуковину при преобразованиях:
(1+2*h)*y_{i+1} - y_{i}*(2+2*h) + (y_{i}^{2} - 2*y_{i}) = h^{2}*\frac {e^{-x_{i}}} {x_{i}}
беру произвольный шаг, к примеру, h=1/8 = 0.2 и выполняю N иттераций, где
N = trunc [$\frac{(a - b)} {h}$] = trunc [$\frac{(1 - 0)} {0.2}$] = 5

[antbez]

А разве тут нельзя решить аналитически?! И совсем несложно, по-моему!

[Searcher]

antbez писал(а):

А разве тут нельзя решить аналитически?! И совсем несложно, по-моему!

необходимо именно ЧИСЛЕННО решить краевую задачу...
ну а потом использовать интерполяционный полином Лагранжа

[Searcher]

УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ: \\ $ y'' + 2*y' - y = \frac {e^{-x}} {x} ; $\\ при начальных условиях: \\ y_{0} = 1; y_{1}' = 0;

Взял число иттераций N=5, соответственно получил шаг h=0.2
Представил производные в виде разностных схем и получил:

(1+2h)y_{i+1} - (2+2h+2h^{2})y_{i} + y_{i-1} = h^{2} \frac {e^{-x_{i}}} {x_{i}}

Далее пошли иттерации:
1) x_{0} = 0; y_{0} = 1 \\ 2) i=1 ; x_{1} = 0.2; \\ (1+2h)y_{2} - (2+2h+2h^{2})y_{1} + y_{0} = h^{2} \frac {e^{-x_{1}}} {x_{1}} \\ 1,4y_{2} - 2,48y_{1} + y_{0} = 0,04 \frac {e^{-x_{1}}} {x_{1}} \\ a_{1} = 1; b_{1} = 1,4; c_{1} = 2,48; f_{1} = -0,04 \frac {e^{-0,2}} {0,2} = -0,1637\\

далее идут след. такие же иттерации

6) i=5; x=1,0 \\ $y'(N) = \frac {y_{N} - y_{N-1}} {h} $\\ y_{N} = y_{N-1} + y'(N)h \\ выходит, что y_{N} = y_{N-1} (???)

Затем высчитываются коэф-ты, неободимые для прогонки:
$ \left\{ \begin{array}{l} y_{0} = $\chi$_{1}y_{1} + $\mu$_{1} \\ y_{N} = $\chi$_{2}y_{N-1} + $\mu$_{2} \end{array} \right. $

получаем, что
$\chi$_{2} = 1 \\ $\mu$_{2} = 0 \\ \\ $\xi$_{5} = $\chi$_{2} = 1; $\nu$_{5} = $\mu$_{2} = 0; \\ \\ 1) $\xi$_{4} = \frac {a_{4}} {c_{4} - b_{4}*$\xi$_{5}} = 0,926 \\ $\nu$_{4} = \frac {b_{4}*$\nu$_{5} + f_{4}} {c_{4} - b_{4}*$\xi$_{5}} = -0,02 \\
и т.д.
получаем значения y:

y_{0} = 1 \\ y_1 = $\xi$_{1}*y_{0} + $\nu$_{1} = 0,714*1 - 0.227 = 0,487 \\ y_2 = $\xi$_{2}*y_{1} + $\nu$_{2} = 0,771*0,487 - 0.11 = 0,265 \\ y_3 = $\xi$_{3}*y_{2} + $\nu$_{3} = 0,845*0,265 - 0,0546 = 0,17 \\ y_4 = $\xi$_{4}*y_{3} + $\nu$_{4} = 0,926*0,17 - 0.02 = 0,13742 \\ y_5 = $\xi$_{5}*y_{4} + $\nu$_{5} = 1*0,13742 - 0 = 0,13742 \\

ПРАВИЛЬНО ЛИ РЕШЕНИЕ?!? СРОЧНО!

[ewert]

Searcher писал(а):

Сначала я воспользовался разностными схемами:
$ y_{i+1}' = \frac{y_{i+1} - y_{i}}{h}}; $

Поезд, наверное, уже ушёл, но грамотнее было бы всё же воспользоваться симметричной первой производной:

$$ y_{i}' = \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{2h}}; $$

[Searcher]

можно попробовать как Вы сказали...

Но, проверьте, пожалуйста ход МОЕГО решения!

[Optimizer of control]

Можно применить метод продолжения по параметру, только там довольно проблематично шаги вручную делать, а прога посчитает легко.