Интерполяция интеграла дискретной функции

[Aael]

Можно ли как-то представить сумму ряда ($f_k$) или интеграл ступенчатой функции ($[f(x)]$, $[\cdot]$ - целая часть, $f_k=f(k)$)
в виде гладкой функции ($\Phi$)
или интеграла от гладкой функции ($F$):
$\Phi(n)=\int\limits_0^nF(t)dt=\sum\limits_{k=0}^{n}f_k=\int\limits_{0}^{n}[f(t)]dt, n\in\mathbb{N}$
так чтобы её можно было вычислить аналитически, т.е. на листочке, без необходимости считать большое число промежуточных значений (с высоким риском допустить ошибку)? Можно ли это как-то сделать для фунции вида: $f(x)=e^{\alpha x} + \beta$ ?

(Оффтоп)

Откуда это берется? Из школьных задач вроде этой:

Цитата:

Алексей взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема: 1 числа каждого месяца банк начисляет 2% на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 2%), затем Алексей переводит в банк платеж. На какое минимальное кол-во месяцев Алексей может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 200 тыс. рублей?

$a:=10^6, s:=2\cdot10^5, r:=2\cdot10^{-2}$
$f_{n+1}=f_{n}(1+r)-s$
$\Delta f=f_{n+1}-f_{n} = rf_{n}-s$
далее переход к гладким функциям, получаем такую модель:
$\displaystyle\left\{ \begin{array}{l} f^\prime(t)=rf(t)-s \\ f(0)=a \\ \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad f(t) = \frac1r\left((ra-s)e^{rn}+s\right)$
ищем корни (когда долг станет равным нулю)
$\displaystyle f(n)=0 \quad \Rightarrow \quad n=\frac1r\ln\frac{s}{s-ra}$
вычисляем
$\displaystyle \begin{array}{rcl} n&=&\frac{1}{2\cdot10^{-2}}\ln\frac{2\cdot10^5}{2\cdot10^5-2\cdot10^{-2}\cdot10^6}= 50\ln\frac{10}{9}=50\ln 1.(1) \\ &=& 50\ln(1 + 0.(1)) \approx 50\cdot 0.1(1) = 5.5(5) \leqslant 6 \end{array}$
Ответ. 6 месяцев.

Здесь интегрировать не нужно (ну кроме уравнения), но если в задаче требуется что-то типа "найти общую сумму за период с первого по сороковой месяц", то нужно будет как-то взять интеграл от целой части $f(t)$

[Nik_Nikols]

(Оффтоп)

А зачем вам гладкая модель? У вас и так есть: $f_{n+1}=f_n(1+r)-s$. Сводится к линейному рекуррентному $f_{n+2}=f_{n+1}(2+r)-f_n(1+r)$. Корни хар. многочлена $1, 1+r$. Они разные "из физических соображений", стало быть, кратности один. Выписываем общую формулу $f_{n}=C_1+C_2(1+r)^n$, находим параметры.

Можно и без науки общую формулу увидеть.

Формулу общей суммы и т.п. тоже из теории лин. рекуррентных посл-тей получить легко. Если суммируете лин. рек. посл-ть, получаете тоже лин. рек. с дополнительным корнем 1 характеристического многочлена. Впрочем, в вашем случае это из пушки по воробьям, т.к. в вашем случае посл-ть есть геометрическая прогрессия плюс константа.

Кстати, это все называется аннуитет. В сети полно калькуляторов. До приложения лин. рек. посл-тей в этих расчетах додумался как-то лет 5 назад, теперь каждый год студентам рассказываю.

[Aael]

Nik_Nikols, спасибо за наводку про линейные рекуррентные соотношения, как-то эта теория мимо меня прошла. Попробовал построить пару последовательностей, но не выходит подобрать сразу частное решение с рациональными корнями хар. уравнения. В итоге вычисления довольно громоздкие получаются. Наверное, нужно больше практики.

А по основному вопросу. Я подобрал гладкие приближения некоторых последовательностей, но решил, что в общем случае это не нужно. Т.е. аналитически если что-то решать обычно достаточен факт их существования. Если нужно программировать - то гладко приближать не имеет смысла. В общем виде их не построить и, конечно, у всех этих "школьных" задач есть куда более простое решение.

[Nik_Nikols]

Aael в сообщении #1187386 писал(а):

Попробовал построить пару последовательностей, но не выходит подобрать сразу частное решение с рациональными корнями хар. уравнения. В итоге вычисления довольно громоздкие получаются. Наверное, нужно больше практики.

Изложите яснее, в чем проблема.

[Евгений Машеров]

Для приведенной "задачи дебитора Алексея" хватит формулы геометрической прогрессии. Собственно, аннуитеты изобрели до появления интегрального исчисления и рассчитывали по "древнегреческой математике"