Можно ли придать точный смысл задачам вида "Вычислить

"?
Если обозначить множество значений функции

как

, то сначала получается такое: вычислить

означает найти

такой, что

. Смысл вроде бы ясен, однако формально получается ерунда: исходный терм

удовлетворяет условию задачи, действительно:

и

. И любой равный ему терм тоже удовлетворяет условию. (например, при таком определении решением задачи "Вычислить

" будет

, поскольку

и

- натуральное число!)
Уточнить смысл получается следующим образом: для каждого выражения следует рассматривать его синтаксическое дерево, вершины которого помечены нужными метками, а исходное выражение считать функцией от этого дерева. Далее я постарался записать это формально.
Пусть

- какой-то конечный алфавит,

- множество непустых строк в нем. Множество

назовем кодифицированным в

существует эффективно вычислимая в обе стороны биекция

из какого-то подмножества

в

. Значения

будем называть меткой элемента

.
Пусть

- множество,

- некое подмножество функций

, причем

кодифицированы.
Определение: простым синтаксическим деревом назовем граф, состоящий из одной вершины с меткой

. Будем его обозначать

.
Определение: 1. Простое синтаксическое дерево является синтаксическим деревом.
2. Если

- синтаксические деревья,

-

-местная функция,

- метка

, то ориентированное дерево с корнем

и дугами, связывающими

и корни

в таком же порядке тоже является синтаксическим деревом (это я рисователь деревьев пока ниасилил)
3. Других синтаксических деревьев нет.
Далее я буду слово "синтаксическое" для простоты опускать.
Определение: пусть

- дерево.
1. Если

- простое:

, то его значение

.
2. Если

- дерево с корнем с меткой

, где

-

-местная функция, а

- непосредственные поддеревья корня, то его значение

.
Множество всех деревьев над

обозначим

.
Отношение

на

порождает нетривиальное отношение эквивалентности

на

при

:

.
Таким образом, задача вида "Вычислить

" означает "Для какого-нибудь дерева

, представляющего

, найти простое дерево

и

". Т.е. пафос в том, что мы работает не с элементами

, а с деревьями.
Аналогично можно придать более точный смысл более общим задачам:
1. Задача "Упростить

" означает "Для дерева

, представляющего

, найти эквивалентное дерево с минимальным числом вершин".
2. Задача "Вычислить

относительно множества функций/функционалов/еще-чего-то-более-страшного

" означает "Для дерева

, представляющего

, найти эквивалентное дерево, не содержащее меток

". Это задачи вычисления производных, определенных и неопределенных интегралов, нахождения суммы в замкнутом виде и т.п. - во всех них требуется найти представление в виде дерева, не содержащего функционалы.
Если просмотреть типовые задачи на вычисление, то можно заметить, что из некоторых из них "торчат уши" подхода с деревьями. Те же формулировки типа "найти сумму в замкнутом виде", теоремы интегрирования некоторых классов функций (
![$\int R(\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}, x)dx$ $\int R(\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}, x)dx$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/4/3642dcd1d9f509f1d0b9067fb1dc460382.png)
, способы упрощения диффуров, "не содержащих в явном виде" буквы

или

, формализация поиска области определения и т.п.).
С другой стороны, с формализацией смысла задачи типа вида "Вычислить

" может оказаться не все так гладко.
Т.е. получается в математике часть задач на вычисление имеет "дырявые абстракции" - написано простое выражение, но за ним стоит сложное дерево, которое "не замечают", но иногда при необходимости к нему обращаются.
И вот это все к чему: а почему ничего подобного в книгах по математике нету? Это все давно известно и описано в книгах

, которые я просто не читал? (я видел деревья только в книгах по информатике) Это очевидно, уныло и неинтересно? Это не дает ни одной полезной теоремы? Это излишняя формализация? Или еще какая-то причина?