Плоская шайба

[fred1996]

В олимпиаденом разделе я давал эту задачку в качестве оценки траектории движения центра масс тонкой шайбы при одновременном линейном движении и вращении.
Можно показать, что если шайба быстро крутится и медленно двигается, то относительная скорость замедления вращения будет больше относительной скорости замедления линейного движения.
То есть $\frac{\alpha}{\omega} > \frac{v}{a}$
Справедливо и обратное утверждение.
Можно так-же показать, что при каком-то изначальном соотношении $v=k\omega r$ будет соблюдаться и равенство $$\frac{\alpha}{\omega} = \frac{a}{v}$ до полной остановки. И шайба остановит поступательное движение и вращение одновременно. Этот к-т $k$ можно просчитать на компьютере (вряд-ли аналитически)

Вопрос такой. Будет ли такое замедление движения устойчивым и соответственно может ли шайба вначале остановиться, а потом прекратить вращаться, или наоборот, а если нет, то может ли $\lim\limits_{v\to 0}^{}\frac{v}{\omega r}\ne k$

[fred1996]

Для наглядности привел картинку

Здесь $O$ - центр шайбы.
$V$ и $\omega$ соответственно линейная и угловая скорость шайбы.
$d=V/\omega$ - расстояние центра шайбы от моментальной оси ее вращения $O'$.
Для любой точки $S$ есть симметричная ей $S'$, так что сила треня по горизонтали для этой пары компенсируется и шайба все время двигаетя по прямой.
Если увеличивать угловую скорость, момент сил трения растет, а сила трения по оси y уменьшается.
И наоборот.