Вычислительная математика

[Sherpa]

Здравствуйте, форумчане.
Немного не понимаю с чего начинать в решении такой вот задачи.
Ах = F. Дана СЛАУ A, F; g - известный вектор
Как можно найти значение линейной формы (g, x) = \sum\limits_{k=1}^{m}{$g_k$x_k}, где х - решение СЛАУ, не решая систему?

[nckg]

А что известно про матрицу $A$? Она квадратная или нет? И если квадратная, то вырожденная или нет?

[Sherpa]

квадратная, определитель не равен нулю...

[ewert]

Sherpa писал(а):

Здравствуйте, форумчане.
Немного не понимаю с чего начинать в решении такой вот задачи.
Ах = F. Дана СЛАУ A, F; g - известный вектор
Как можно найти значение линейной формы (g, x) = \sum\limits_{k=1}^{m}{$g_k$x_k}, где х - решение СЛАУ, не решая систему?

Никак. Как не крути, обратная матрица всё равно вылезет. Если нет никакой дополнительной специфики у элементов задачи.

[Sherpa]

странно... так не должно быть.
так бы смысла не было. в лоб можно было бы решить

[nckg]

На мой взгляд поставленная задача должна решаться без нахождения обратной матрицы. Ведь по сути требуется найти не весь $x$, а только один элемент (ну, если взять, скажем, $g=(1,0,\dots,0)$).

С другой стороны, вряд ли это очень легко сделать, т.к. иначе можно было бы решить заодно и всю систему, взяв $g=(1,0,0,\dots,0)$, $g=(0,1,0,\dots,0)$ и т.д.

Скорее всего нужно что-то сделать с матрицей $A$ -- например, привести к верхне-треугольной форме.

[ewert]

Привести к треугольной -- это по сути и означает найти обратную.

[nckg]

По сути -- да, но не совсем. Ведь обратный ход метода Гаусса мы не делаем:). На самом деле я пока не могу предложить что-то лучшее, поэтому, вот, говорю про верхне-треугольную форму

[Gafield]

В частном случае ортогональной матрицы ответ будет $(Ag,F)$. Хотя, конечно, в этом случае oбратная матрица уже есть

[Sherpa]

а какими методами в такого рода задаче вообще можно пользоваться???