Потенциал диска 1

[fred1996]

Пусть дан тонкий равномерно заряженный диск радиуса $R$ и зарядом $Q.
Найти потенциал на краю диска.

[DimaM]

$\varphi=\dfrac{4Q}{\pi R}$ (в СГС).

[fred1996]

А не заслуженные участники могут решить?

[dovlato]

Ну, взять пару интегралов. От центра - вверх; и от центра - по радиусу. Судя по Градштейну-Рыжику, берущиеся. Не интересно.

[AnatolyBa]

А нет ли какого-то хитрого способа? Мне кажется, что нет, но вдруг все-таки есть? Намекните.

[fred1996]

Так dovlato уже намекнул.
Вам намек еще толще?

[AnatolyBa]

Было бы любопытно если бы без Градштейна-Рыжика.
Хотя ... что за интеграл от центра по радиусу? Вам известна радиальная напряженность?

[DimaM]

AnatolyBa в сообщении #1184625 писал(а):

Было бы любопытно если бы без Градштейна-Рыжика.

Берем точку на краю диска за начало полярной системы координат и записываем потенциал в виде

$$\varphi=\int\dfrac{\sigma dS}{r},\quad\mbox{где}\quad\sigma=\dfrac{Q}{\pi R^2}.$$

дальше $dS=rdrd\theta$, и проблема только правильно расставить пределы интегрирования по $r$ в зависимости от $\theta$.

[AnatolyBa]

Да, вот это по-настоящему красиво. Вот за это спасибо

[Metford]

Насколько мне помнится, в точности эта задача разобрана в учебнике Иродова. Тем методом, который предложил DimaM.

(Оффтоп)

Кстати, fred1996, у Вас тут уже две задачи о потенциалах - у Вас к ним особый интерес? А то мне тут одна книга на глаза попалась как раз по этой тематике. Просто вопрос к слову.

[fred1996]

Я эту задачку нашел у Morin.
Ну да ладно.
Наверное все интересные задачи по электростатике были придуманы в 30-е годы.
В эпоху сильнейших аналитиков.

[Metford]

Да, компьютеров-то не было. Думать приходилось, искать...
Я видел, какие вещи сейчас вычисляют в электростатике (аналитически, между прочим). Даже не предполагал, что сейчас такими вещами занимаются столь обстоятельно.