Проблема с дивергенцией

[StaticZero]

Пусть заряд $q$ движется со скоростью $\mathbf v$. Вектор $\mathbf r$ проведён из заряда в точку наблюдения - начало координат. Векторный потенциал этого заряда определяется формулой $\mathbf A = \dfrac{q \mathbf v}{c r}$. Нужно показать, что $\operatorname{div} \mathbf A = 0$.

Делаю пока вот так.

$$ \operatorname{div \mathbf A} = \dfrac{q}{c} \left(\nabla \cdot \dfrac{\mathbf v}{r}\right) = \dfrac{q}{c} \left(\nabla \dfrac{1}{r} \cdot \mathbf v\right) = \dfrac{q}{c} \left(-\dfrac{\mathbf r}{r^3} \cdot \mathbf v\right).$$

Ноль у меня пока не получается...

[amon]

StaticZero в сообщении #1184494 писал(а):

Векторный потенциал этого заряда определяется формулой $\mathbf A = \dfrac{q \mathbf v}{c r}$.

А это Вы откуда такое взяли?

[StaticZero]

Из "того же" пособия. Там, правда, указано для системы частиц

$$ \mathbf A = \sum \limits_i \dfrac{q_i \mathbf v_i}{c r_i}, $$

но это не принципиально. Условию $\operatorname{rot} \mathbf A = \mathbf B$ удовлетворяет, а вот дивергенция... сказано, что это легко проверить. Но, вот, нелегко.

[Slav-27]

StaticZero в сообщении #1184494 писал(а):

Вектор $\mathbf r$ проведён из заряда в точку наблюдения - начало координат. Векторный потенциал этого заряда определяется формулой $\mathbf A = \dfrac{q \mathbf v}{c r}$.

Тут написано что-то странное. Векторный потенциал должен быть задан в каждой точке: $\mathbf A=\mathbf A(x,y,z,t)$. У вас: $\mathbf v$, видимо, постоянно, $r$ проведено от заряда в $0$, итого для фиксированного момента времени $\mathbf A$ постоянно...

Может, так?

StaticZero в сообщении #1184494 писал(а):

Вектор $\mathbf r$ проведён из заряда в точку наблюдения - начало координат.

Но тогда: кто сказал, что $\operatorname{div}\mathbf A=0$?
Может, $\operatorname{div}\mathbf A+\dfrac1c\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}=0$?

[Metford]

StaticZero
Такое вычисление обычно проводят для потенциала поля, создаваемого током с известной плотностью. Посмотреть это можно у Тамма в "Основах теории электричества" (в третьей главе - 46 параграф по изданию 2003г.).

[amon]

Metford в сообщении #1184562 писал(а):

Посмотреть можно у Тамма

Нужно. А методичку, ну, сами понимаете.

[Metford]

А что за методичку "ту же" имеет в виду ТС? Видимо, её, правда, нужно... того ...

[StaticZero]

Хорошо, я отсканирую это место. Но чуть позже.

Slav-27 в сообщении #1184560 писал(а):

Тут написано что-то странное. Векторный потенциал должен быть задан в каждой точке: $\mathbf A=\mathbf A(x,y,z,t)$. У вас: $\mathbf v$, видимо, постоянно, $r$ проведено от заряда в $0$, итого для фиксированного момента времени $\mathbf A$ постоянно...

Заряд движется, его радиус-вектор в каждый момент времени $-\mathbf r(t)$.

[Slav-27]

StaticZero в сообщении #1184581 писал(а):

Хорошо, я отсканирую это место. Но чуть позже.

Вы б лучше, действительно, читали что-нибудь известное и хорошее.
Мешков, Чириков. Электромагнитное поле -- хорошая книжка.

StaticZero в сообщении #1184581 писал(а):

Заряд движется, его радиус-вектор в каждый момент времени $-\mathbf r(t)$.

Вот ежели наблюдатель сидит в точке $\mathbf r_\text{н}=(x,y,z)$, то $\mathbf A(\mathbf r_\text{н}, t)\equiv\mathbf A(x,y,z,t)$ -- чему равно?

Если от $\mathbf r_\text{н}$ не зависит, то нехорошо.

-- 14.01.2017, 17:30 --

Может быть, вы интересуетесь только вектором $\mathbf A(0,0,0,t)$ и думаете, что остальное не надо. Но на самом деле надо: вам же считать от него дивергенцию и всё такое, а для этого нужны значения хотя бы в близких к нулю точках.

[amon]

Если хотите разобраться, то можно еще посмотреть в параллель Тамму параграфы 1.6 и 1.7 из учебника А.Н. Васильева "Классическая электродинамика" (там, правда, чуть посложнее, но вполне проходимо). Станет понятно, где соврано в Вашей методичке.

[Munin]

Де факто, векторный потенциал написан правильно, а вот заявление, что его дивергенция равна нулю, неверно. Возможна опечатка: надо показать $\operatorname{div}\operatorname{rot}\mathbf{A}=0.$

[Metford]

Munin в сообщении #1184610 писал(а):

надо показать $\operatorname{div}\operatorname{rot}\mathbf{A}=0.$

А зачем? Судя по всему, методичка должна быть посвящена теории поля, а не векторному анализу. Посмотрим, что в оригинале написано, если StaticZero страницу выложит.
Я предполагаю, что замах остался от вывода а-ля Тамм, о котором я говорил выше. Просто упражнение было автоматически перенесено туда, куда его переносить было не нужно.

[amon]

Munin в сообщении #1184610 писал(а):

Де факто, векторный потенциал написан правильно

Тогда надо объяснять что такое $r_i$ в формуле $ \mathbf A = \sum \limits_i \dfrac{q_i \mathbf v_i}{c r_i}$. А у меня впечатление, что изучаемый раздел - статика, к которой потенциалы Льенара-Вихерта ни каким боком.

[StaticZero]

Формула 10.7.

(Спойлер)

-- 14.01.2017, 18:26 --

Я сам себя запутал.
Дело в том, что для переваривания этого текста мне необходимо вводить упрощающие обозначения. Я привык к тому, что рассматриваются сначала парные взаимодействия (или поле от одного заряда/частицы), лишь затем идёт ссылка на принцип суперпозиции и пишется значок суммы. Здесь наоборот, тут вываливают сразу эти формулы.

Slav-27 в сообщении #1184585 писал(а):

Вот ежели наблюдатель сидит в точке $\mathbf r_\text{н}=(x,y,z)$, то $\mathbf A(\mathbf r_\text{н}, t)\equiv\mathbf A(x,y,z,t)$ -- чему равно?

Если от $\mathbf r_\text{н}$ не зависит, то нехорошо.

-- 14.01.2017, 17:30 --

Может быть, вы интересуетесь только вектором $\mathbf A(0,0,0,t)$ и думаете, что остальное не надо. Но на самом деле надо: вам же считать от него дивергенцию и всё такое, а для этого нужны значения хотя бы в близких к нулю точках.

Да, я понял. Я должен сажать в начало координат не себя, а частицу. Тогда будем искать $\mathbf A(\mathbf r)$, и вот тогда будет верно $\mathbf A = \dfrac{q \mathbf v}{c r}$, где $\mathbf r$ -- радиус-вектор точки пространства. Но я это, в принципе, и искал, только обманул себя в обозначениях. То есть проблема никуда не девается...

[Munin]

amon в сообщении #1184614 писал(а):

Тогда надо объяснять что такое $r_i$

Конечно!

StaticZero
Ой, пожалуйста, не пользуйтесь Радикалом! Это дерьмо с избытком рекламы! Найдите какой-нибудь нормальный бесплатный хостинг картинок.