Зачем нужна компактность фазового пространства?

[timber]

Если у нас есть динамическая система и соответственно фазовое пространство, то, как я понимаю, топология вводится для того, чтобы мы могли анализировать геометрические (качественные) свойства этой системы. Например, для того, чтобы говорить о близости тех или иных точек динамической системы. Если мы еще хотим точно измерять расстояние между точками системы, тогда мы вводим расстояние и фазовое пространство становится метрическим.

А скажите, пожалуйста, что нам дает компактность фазового пространства системы? Это просто дополнительное условие, которое накладывается на множество точек динамической системы, чтобы нам упростить (или усложнить) дальнейший анализ поведения этих точек?

[demolishka]

Анализ динамической системы во многих случаях сводится к анализу ее аттрактора --- притягивающего компактного инвариантного множества. Компактность необходима для существования многих объектов связанных с динамической системой и их свойств. Например, инвариантные и, в частности, эргодические меры гарантированно существуют только в случае компактного фазового пространства. Или вариационный принцип, связывающий топологическую и метрическую энтропию, в некомпактном случае также может не работать.

[timber]

demolishka в сообщении #1183289 писал(а):

Компактность необходима для существования многих объектов связанных с динамической системой и их свойств. Например, инвариантные и, в частности, эргодические меры гарантированно существуют только в случае компактного фазового пространства.

Спасибо! То есть это просто необходимое условие построения новых объектов. А я то думал, что это как-то связано именно с поведением точек. Ну, например, потребовали компактность и из этого следует, что точки с течением времени не будут покидать какую-то определенную область или не будут достаточно далеко расходиться друг от друга или там что-то еще (с ними будет).

[dsge]

А зачем нужна компактность в математике? Для того, чтобы из какой-нибудь последовательности выбрать что-то сходящееся. Как отмеченно выше это позволяет доказать существование разных объектов.

timber в сообщении #1183285 писал(а):

А скажите, пожалуйста, что нам дает компактность фазового пространства системы?

demolishka в сообщении #1183289 писал(а):

Анализ динамической системы во многих случаях сводится к анализу ее аттрактора --- притягивающего компактного инвариантного множества.

Для существование аттрактора важна не компактность фазового пространства, а компактность операторов полугруппы, задающих динамическую систему, например в случае параболических УЧП, где фазовое пространство некомпактно.

[DeBill]

timber в сообщении #1183285 писал(а):

что нам дает компактность фазового пространства системы?

А еще дает неограниченную продолжимость решений дифура. А тогда уж и существование омега-предельного множества для траекторий...

[dsge]

DeBill в сообщении #1183341 писал(а):

А еще дает неограниченную продолжимость решений дифура.

Ну, для тех же параболических можно продолжить вперед, при определенных условиях (правда, для НС пока не получается).

[demolishka]

timber в сообщении #1183297 писал(а):

То есть это просто необходимое условие построения новых объектов

Скорей достаточное.

timber в сообщении #1183297 писал(а):

А я то думал, что это как-то связано именно с поведением точек.

Это как раз и связано с поведением точек

dsge в сообщении #1183300 писал(а):

Для существование аттрактора важна не компактность фазового пространства, а компактность операторов полугруппы, задающих динамическую систему, например в случае параболических УЧП, где фазовое пространство некомпактно.

А я такое нигде не говорил. Я имел в виду, что динамическая система с компактным фазовым пространством появляется как сужение динамической системы заданной, вообще говоря, на не компактном пространстве на ее аттрактор.