Задача на трение N2

[fred1996]

1. Пусть у нас имеется очень тонкая шайба.
Запустим ее с некоторой начальной линейной скоростью $\mathbf{V}$ и одновременно закрутим с уголвой скоростью $\omega$.
Опишите качественно траекторию движения центра шайбы.
2. Пусть теперь шайба имеет некоторую конечную высоту $\mathbf{h}$. Как измненится ответ?
3. Пусть теперь вместо шайбы запускают одородную тонкую палку. Чем отличается траектория движения центра палки от шайбы?
Все три задачи качественые, поскольку, ну вы сами увидите почему.

[DimaM]

Неясно, как ориентированы друг относительно плоскость шайбы и векторы линейной и угловой скорости.

[fred1996]

Плоская шайба вращается вокруг своей оси, перпендикулярной плоскости площадки. Ее центр изначально движется по прямой. То есть вектор линейной скорости перпендикулярен вектору угловой скорости.

[wrest]

На первый взгляд, поскольку сила трения от скорости не зависит и давление везде одинаково, то центр тонкой шайбы будет двигаться так же, как если бы она не вращалась вокруг оси, т.е. прямолинейно и равнозамедленно.

Но толстая шайба, вероятно, будет заворачивать. Происходить это будет от того, что при торможении трением по ходу движения, бОльшее давление будет приходится на переднюю (по ходу движения) часть шайбы, и значит сила трения там будет больше, чем в задней части шайбы. Так что если смотреть на удаляющуюся от нас шайбу, которая вращается скажем по часовой стрелке, шайба будет заворачивать влево.


Насчет палки, что имеется в виду под палкой -- тонкий (длина намного больше диаметра) цилиндр?

Как раскручивают палку -- она же может вращаться вокруг двух осей (одна ось -- перепендикулярна оси цилиндра и проходит через центр масс, вторая ось -- ось вращения цилиндра)?

[wide]

Тут вся фишка в силе трения, она для заданных материалов не может быть больше определенной величины. Теперь смотрим на крайнюю точку шайбы например под 45 градусов от траектории движения. Тут присутствуют два вектора силы трения, один направлен против начальной линейной скорости, другой по касательной к радиусу шайбы. Их сумма равна просто силе трения. Т.е. получается чем больше линейная скорость движения по окружности, тем составляющая силы трения в этом направлении больше, чем силы трения вдоль траектории, более того, эти силы складываясь дают в сумме ноль, поэтому на траекторию они не влияют. Другая составляющая силы трения направлена против первоначальной линейной скорости, она меньше $\mu N$, поэтому закрученная шайба пройдет расстояние больше, чем не закрученная. На мой взгляд траектория будет прямолинейной.

Что касается толстой шайбы, то при одинаковой угловой скорости она будет обладать большей кинетической энергией вращения, что будет дольше обеспечивать высокую линейную скорость вращения над первоначальной линейной скоростью, т.е. такая шайба пройдет большее расстояние.

Со стержнем та же история, при одинаковой массе с шайбой, у него будет больше момент инерции, т.е. больше кинетическая энергия вращения, при этом еще и больше линейная скорость вращения на радиусах, больших радиуса шайбы.

[fred1996]

Проще представить моментальное вращение шайбы и стержня относительно неподвижной оси вращения. Тогда для тонкой шайбы Ввиду ее полной округлости для любого ее участка поверхности всегда найдет симметричный ему участок относительно оси соединяющей центр шайбы с моментальным центром вращения. То есть если шайба движется в каком-то направлении, для двух ее симметричных участков перпендикулярные составляющие силы трения в точности гасят друг друга (синусы углов моментального направлеия движения одинаковы по величине, но разные по знаку).
И как вы правильно заметили, при линйном предвижении силы реакции опоры будут смещаться вперед и соответственно силы трения тоже. Таим образом если шайба вращается по часовой стрелке, она будет отклоняться против часовой.
Кстати тут возникает интересный вопрос. Нельзя ли связать замедление вращения толстой шайбы с моментальным радиусом кривизны ее отклонения, используя каким-нибудь образом интегральные моменты сил относительно центра вращения и относительно моментального центра закругления траектории.
В случае стержня я имел ввиду более тривиальный вариант плоской достаточно узкой палки. Для палки уже симметрии не будет, как не будет ее и для любой другой фигуры кроме круга.

[wide]

fred1996 в сообщении #1183036 писал(а):

Проще представить моментальное вращение шайбы и стержня относительно неподвижной оси вращения. Тогда для тонкой шайбы Ввиду ее полной округлости для любого ее участка поверхности всегда найдет симметричный ему участок относительно оси соединяющей центр шайбы с моментальным центром вращения.

Уточните, где именно находится "моментальный центр вращения", т.к. по вашим уточняющим ответам шайба лежит на плоскости, а не стоит как колесо, в этом случае у нее отсутствует мгновенный центр скоростей.

fred1996 в сообщении #1183036 писал(а):

И как вы правильно заметили, при линйном предвижении силы реакции опоры будут смещаться вперед и соответственно силы трения тоже.

Да, будут. Но данный эффект влияет только на нескомпенсированные силы трения, т.е. зависит от отношения скорости ц.м. шайбы к линейной скорости вращательного движения. Если рассматривать случай $\dfrac{v_0}{Rw_0} \flqq 1$, то данным эффектом можно пренебречь на начальной стадии траектории.

Немного подробнее тут:
http://elementy.ru/problems?chapter=5200971&discuss=353&return=1

[url]http://www.physbook.ru/index.php/Kvant._Сухое_трение[/url]

Более подробно:
http://www.mathnet.ru/rus/nd262

http://elibrary.udsu.ru/xmlui/handle/123456789/9639

[fred1996]

Если твердое тело одновременно вращается вокруг своего центра масс и центр масс движется с какой-то скоростью, у такого тела всегда имеется единственная моментальная ось вращения. Эта ось, как несложно догадаться, находится на расстоянии $\mathbf{r=\frac{v}{\omega}}$ от центра масс на перпендикуляре к вектору скорости.