Найдутся ли такие функции?

[Ktina]

Найдутся ли такие функции $p(x)$ и $q(x)$, что $p(x)$ – чётная функция, а $p(q(x))$ – нечётная функция (отличная от тождественно нулевой)?

У меня пример некрасивый. Пусть

$$p(x)=sgn(|x|-1)$$

, тогда как

$$q(x) = \begin{cases} \ \ 2, & x > 0 \\ \ \ 1, & x = 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$$

У авторов пример покруче: http://problems.ru/view_problem_details ... p?id=65842

Можно ли придумать такой пример, чтобы обойтись и без моей разрывности, и без авторской тригонометрии?
Пожалуйста, помогите решить.
Заранее благодарю!

[gris]

Можно ужать косинус по горизонтали и сделать их него кусочно-линейную пилу. Непрерывно и никакой тригонометрии, и даже без пи.

[SomePupil]

Ляп обтяплен.

[Ktina]

gris в сообщении #1182911 писал(а):

Можно ужать косинус по горизонтали и сделать их него кусочно-линейную пилу. ...

Это как-то математически выразибельно?

[GAA]

Попробуйте построить «пилу» используя функцию дробная часть. (Аккуратно не проверял, но вроде не должно быть проблем.)

-- Пн 09.01.2017 11:35:38 --

Можно просто явно задать на отрезке ломаную и указать период — функция задана и не видно смысла страдать с «дробной частью». (После ответа с косинусом периодические функции уже не интересны.)

[Ktina]

gris
GAA
Большое спасибо!

[popolznev]

А если попробовать вот в таком аксепте: взять функцию $p$ следующего вида:



доопределить её четным образом, а потом подогнать под неё функцию $q$, которая правильным образом отображает $\left(-\infty,0\right]$ на $\left(0,1\right]$, а $\left[0,+\infty\right)$ на $\left[0,+\infty\right)$.

[GAA]

Если (сверх четности $p$ и нечетности $p(q(x))$) требовать только непрерывность $p$ и $q$ (как в начальном сообщении желает ТС), то вроде все очень просто (периодичность не важна)

$$p(x)=\sqrt{|x|} -1/2,$$

$$q(t) = \begin{cases} 1, & t \ge 1/2; \\ (t+1/2)^2, & |t| < 1/2; \\ 0, & t \le -1/2. \end{cases}$$

Тогда

$$p(q(t)) = \begin{cases} 1/2, & t \ge 1/2; \\ t, & |t| < 1/2; \\ -1/2, & t \le -1/2. \end{cases}$$

Т.е. хорошо бы более жесткие требования наложить. Или я что-то не вижу.