задача по стереометрии

[Rony]

Около правильной пирамиды FABC описана сфера, центр которой лежит в плоскости основания ABC пирамиды. Точка М лежит на ребре АВ так, что АМ:МВ=1:3. Точка Т лежит на прямой АF и равноудалена от точек М и В. Объём пирамиды TBCM равен $\frac5 {64}. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды FABC.

Решая эту задачу в который раз, не могу найти ошибку
1) Искомый радиус - высота пирамиды ABCD и радиус описанной вокруг ABC окружности.
BQ - высота треугольника ABC, FO-высота пирамиды FABC
Пусть AB=a, тогда MB =0,75*a.
Пусть TH - высота на плоскость ABC, тогда в равнобедренном треугольнике HMB (так как MB и HB - равные проекции наклонных из точки T):
$HB=\frac{\sqrt{3}a} 4
$BQ=\frac{\sqrt{3}a} 2
2) Из подобных треугольников FQO и TQH: $ТН=\frac{\sqrt{3}a} 2
$V_{TBCM}=0,75a* {\frac{\sqrt{3}a} 4}*{sin 30^о}* {\frac1 6*TH}=\frac{3a^3} {64*2}=\frac5 {64}
$V_{TBCM} у меня уже неправильный. Но в чём дело, не пойму
Подскажите, пожалуйста..

[Батороев]

Мне кажется, что $ HB\ne\frac{\sqrt{3}}{4}a $
Точка $H$, как мне представляется, лежит на высоте треугольника $ABC$ на расстоянии $ \frac{5\sqrt{3}}{12}a $ от $A$.

[Rony]

Не погли бы Вы объяснить, почему расстояние от А такое.

Н лежит на высота треугольника ABC, BH=HM (равные проеции). Основание равнобедренного тр-ка MHB равно 0,75*а, угол при основании $30^0. Отсюда я считала HB. Почему это неправильно?

[Батороев]

Rony писал(а):

Не погли бы Вы объяснить, почему расстояние от А такое.

Н лежит на высота треугольника ABC, BH=HM (равные проеции). Основание равнобедренного тр-ка MHB равно 0,75*а, угол при основании $30^0. Отсюда я считала HB. Почему это неправильно?

Потому что, угол при основании равнобедренного треугольника $BHM$ не равен $30^0$.

$HB$, по-видимому, рассчитывать не обязательно.
Из подобия $AFO$ и $ATH$ можно сразу найти $TH$.
Также можно рассчитать площадь основания $MBC$, выраженную через $r$ (выразить ее через $S_{ABC}$, которая в свою очередь через радиус считается просто).