Калибровочная симметрия и унитарность

[Name XXX]

Я часто слышу о том, что калибровочная инвариантность важна для унитарности в квантовой калибровочной теории. Не понимаю до конца, как именно нужна калибровочная инвариантность.

Поясню своё непонимание. Рассмотрим для простоты абелеву калибровочную теорию. Калибровочная инвариантность, в частности, обеспечивает отсутствие вклада продольных фотонов в $in-$, $out-$состояния. Это выражается на языке тождества Уорда, которые говорят, что для амплитуды $M \equiv M_{\mu}\epsilon^{\mu}(p)$ процесса с фотоном с поляризацией $\epsilon_{\mu}(p)$ выполняется соотношение

$$ p_{\mu}M^{\mu} = 0 $$

Можно нарушить эти тождества; тогда продольные фотоны вступят в игру. Но в чём здесь проблема с унитарностью? Просто новая степень свободы появится.

[Munin]

Я этого не понимаю, но знаю, где написано:
Ченг, Ли. Калибровочные теории в физике элементарных частиц. Глава 11, параграф 11.1.
Ициксон, Зюбер. Квантовая теория поля. Том 2, глава 12, параграф 12.5.1.

[Name XXX]

Но ведь это (написанное в книгах по ссылкам) касается теорий, в которых мы интегрируем по массивным калибровочным полям. Там явно видно, что (по крайней мере) древесная унитарность под угрозой. Но если речь идёт о массивной калибровочной теории, то она перенормируема, что объясняется тем, что тождества Уорда по-прежнему выполняются, поскольку ток, с которым взаимодействует калибровочное поле, по-прежнему сохраняется (теория инвариантна из-за инвариантности относительно глобальных преобразований). Об этом идёт речь в 12.5.3 книги Ициксона.

Но вот что будет, если тождества Уорда нарушаются (например, калибровочной аномалией)? Где там спрятано нарушение унитарности? В неабелевых теориях я бы сказал, что тождества Уорда (Славнова-Тейлора) нужны для того, чтобы сократить вклад от духов Фаддеева-Попова, имеющих индефинитную метрику, с продольными поляризациями калибровочных бозонов. И там ясно, что возникают проблемы с унитарностью. Но в чём проблема с абелевой теорией, где духи отщепляются при любой линейной по калибровочному полю фиксации калибровки...

[Munin]

А в абелевых теориях, вроде бы, некалибровочность унитарности не угрожает. Из-за чего на калибровочность вообще далеко не сразу обратили внимание, а долго (примерно полтора десятилетия) строили теории почти какие в голову взбредёт.

Но повторяю, я этого не понимаю :-(

[Name XXX]

Однако же я часто встречаю фразы типа такой:

Цитата:

In presence of an anomaly... ...the Ward-Identities are not conserved and hence unphysical, longitudinal photons, cannot
be decoupled. The theory is not unitary (at any scale) and thus inconsistent.

[Munin]

Вот про аномалии я вообще ничего сказать не могу, увы :-(

[AnatolyBa]

Не то чтобы я в этом разбирался, но я читаю (пытаюсь читать) сейчас книгу Шварца (Schwartz. Quantum Field Theory and the Standard model.)
Там в начале главы 30 кое-что об этом есть. Вот цитата:

Цитата:

continious global symmetries imply conserved currents, through Noether's theorem. If a symmetry is anomalous then it is not actually a symmetry and the associated current will not be conserved. Such a situation has dire consequences for theories in which the current couples to a massless spin-1 particle, such as QED or Yang-Mills theory. If the current to which a massless spin-1 particle couples is not conserved, the Ward identity will be violated, unphysical longitudinal polarizations can be produced and unitarity will be violated. Thus, in a unitary quantum theory,gauged symmetries (those with associated massless spin-1 particles) must be anomaly free.

А также про унитарность в конце 8.4.2

[Name XXX]

AnatolyBa в сообщении #1181686 писал(а):

А также про унитарность в конце 8.4.2

Это обсуждение позаимствовано из книги Вайнберга ("Квантовая теория полей", первый том, раздел 5.9). Идея состоит в том, что ЕСЛИ конструировать поля рождения и уничтожения из операторов одночастичных состояний, являющихся УНИТАРНЫМИ неприводимыми представлениями группы Пуанкаре, то оказывается, что невозможно сконструировать лоренц-ковариантное 4-х-векторное поле $A_{\mu}$, реализующее безмассовые представления спиральности 1 (как фотоны). Если мы всё же потребуем, чтобы в теории с $A_{\mu}$ оно конструировалось из операторов рождения-уничтожения таких частиц, то потеряем лоренц-инвариантность, если в действии присутствуют свёртки других полей с $A_{\mu}$; грубо говоря, $A_{\mu}$ преобразовывается не как 4-х-вектор при преобразованиях Лоренца, а как

$$ A_{\mu} \to \Lambda_{\mu}^{\ \nu}A_{\nu} + \partial_{\mu}\varphi $$

Правильным лоренц-ковариантным полем, реализующим безмассовое представление спиральности 1, есть $F_{\mu\nu}$. Однако присутствие свёрток с полями $A_{\mu}$ в действии реалистичных теорий требуется экспериментом (должен воспроизводиться закон обратных квадратов). В результате оказывается, что калибровочная инвариантность на языке тождеств Уорда является необходимым инструментом для реализации лоренц-инвариантности в такой теории и согласования её с экспериментом.

Однако я предлагаю подходить к квантованию калибровочной теории другим путём, как обычно люди и делают (и говорят потом, что калибровочная инвариантность сохраняет унитарность); может, удастся увидеть ту же картинку, что и выше, и в таком подходе. Именно, можно стартовать с классического действия электродинамики и проквантовать его. При этом 4-х-потенциал является самым что ни есть 4-х-вектором. В ходе такой процедуры мы сталкиваемся с тем, что кроме поперечных (как их ещё называют, "физических") поляризаций $\epsilon_{\perp}(k)$ (k есть фурье-мода),

$$ \epsilon_{\perp,1}^{\mu}(k) = (0, 1, 0, 0), \quad \epsilon_{\perp,2}^{\mu}(k) = (0,0,1,0), \quad k^{\mu} = (k, 0,0,k) $$

есть ещё и две другие, продольная и времениподобная (их называют "нефизичными"),

$$ \epsilon_{||}^{\mu}(k) = (0,0,0,1), \quad \epsilon_{0}^{\mu}(k) = (1,0,0,0); $$

времениподобная при этом типично имеет отрицательную норму в гильбертовом пространстве, в том смысле, что

$$ \langle \mathbf p, 0|\mathbf k, 0\rangle = -\delta(\mathbf p -\mathbf k) $$

Оказывается, что калибровочная инвариантность классического действия, использованная при квантовании, убивает две последние степени свободы. Причём в зависимости от того, как мы квантуем (какое калибровочное условие налагаем, квантуем ли вначале, а потом нагалаем условие, или наоборот), гильбертово пространство конструируется по-разному. Если калибровочное условие $G(A_{\mu}) = 0$ - лоренц-ковариантное (как калибровка Лоренца $\partial_{\mu}A^{\mu} = 0$), то в гильбертовом пространстве присутствуют все поляризации (см. квантование по Гупте-Блейлеру, или как там); если же нарушающее лоренц-ковариантность теории (как калибровка Кулона $\nabla \cdot \mathbf A = 0$ либо калибровка $A_{0} = 0$), то может присутствовать лишь одна из "нефизичных" поляризаций, либо они могут отсутствовать вовсе. В любом случае, в свободной калибровочной теории без взаимодействия отсутствие вклада таких поляризаций в наблюдаемые величины (импульс и т.д.) достигается простой фиксацией калибровки; например, в калибровке Лоренца вклады от продольных компенсируются вкладами от времениподобных. В случае же с калибровочным взаимодействием благодаря сохранению калибровочного тока возникают тождества Уорда; они говорят, что и при взаимодействии "нефизичные" степени свободы остаются "нефизичными".

Однако здесь возникает вопрос, что же значат "нефизичные" поляризации (в чём же состоит их "нефизичность"), и как их появление в $in-,out-$состояниях влияет на унитарность. Здесь уместна цитата

AnatolyBa в сообщении #1181686 писал(а):

Там в начале главы 30 кое-что об этом есть. Вот цитата:

Следует её обсудить. Изначально, на уровне классической калибровочной теории, я бы сказал, что "нефизичность" указанных поляризаций значит, что они устраняются благодаря калибровочной инвариантности независимо от конкретного выбора калибровки. В случае с квантовой теорией появляются ещё дополнительные требования, основным из которых является, конечно, унитарность. В таком случае "нефизичность" времениподобной поляризации, окромя её непременного устранения калибровками, состоит ещё и в отрицательной норме в гильбертовом пространстве: если такая поляризация вносит вклад в наблюдаемые величины, то унитарность будет нарушаться. Но продольная поляризация как была, так и остаётся с положительной нормой, и её "нефизичность" состоит лишь в том, что её можно убрать выбором калибровки.

Если взаимодействия нарушают тождества Уорда, то меняется структура гильбертова пространства, и "нефизичные" поляризации вступают в игру. При этом я не вижу никаких проблем от появления продольных поляризаций: они имеют положительную норму, и с нарушенными тождествами Уорда могут влиять, наивно, лишь на перенормируемость. Родственной теорией есть массивная КЭД, в которой 4-х потенциал имеет массу (правда, в такой теории тождества Уорда тоже существуют, но это несущественно на данный момент). Значит, мне кажется, проблему таят в себе времениподобные поляризации. Но они отсутствуют в гильбертовом пространстве во многих калибровках!

Вот это я и не понимаю до конца. Времениподобные поляризации в гильбертовом пространстве отсутствуют в калибровках, нарушающих лоренц-инвариантность, но присутствуют в лоренц-ковариантных калибровках. Таким образом, казалось бы, очевидно, что при нарушении тождеств Уорда мы либо сохраняем унитарность ценой нарушения лоренц-инвариантности, либо сохраняем лоренц-инвариантность ценой нарушения унитарности. Однако этот вопрос не очень внятно обсуждается в литературе, потому я и до сих пор маюсь с вопросом.

[physicsworks]

Name XXX в сообщении #1181414 писал(а):

Я часто слышу о том, что калибровочная инвариантность важна для унитарности в квантовой калибровочной теории. Не понимаю до конца, как именно нужна калибровочная инвариантность.

Унитарность теории предполагает существование соответствующей связи между амплитудами рассеяния и поперечным сечением рассеяния (cross-section), которая выражается на языке оптической теоремы. В свою очередь, чтобы оптическая теорема выполнялась, нужно чтобы в числителе дроби пропагатора частиц стояла сумма по физическим спиновым состояниям. Например, для массивного спин-1 поля в числите пропагатора действительно стоит сумма по трем (физическим) спиновым состояниям и оптическая теорема выполняется. Для безмассового спин-1 поля числитель пропагатора $g^{\mu \nu} - (1-\xi)p^{\mu}p^{\nu}/p^2$ не является суммой по физическим спиновым состояниям (которых две в этом случае): $\sum_{i=1}^2 \epsilon_i^{\mu}\epsilon_i^{\nu*} = -g^{\mu \nu} + \frac{1}{2E^2}(p^{\mu}q^{\nu}+q^{\mu}p^{\nu})$, где $p^{\mu} = (E,\mathbf{p})$, $q^{\mu} = (E,-\mathbf{p})$. Но из того, что пропагатор калибровочно инвариантен, а также из-за того что тождество Уорда выполнено для сечений рассеяния, вот эти $p^{\mu}$ члены выпадают и оптическая теорема остается справедливой. Поэтому калибровочная инвариантность важна для унитарности теории.

Но надо также понимать что вся эта калибровочная инвариантность она не наблюдаема и вообще не является симметрией. Она просто удобна для построения локальных Лагранжианов. Но она также имеет свои недостатки (для вычисление процесса $gg\to gggg$ потребуется примерно 100 страниц вычислений, но конечный результат может быть записан в виде одной-едиснтвенной формулы, см. Parke-Taylor formula, используя spinor-helicity formalism, который не таскает за собой всю эту избыточность описания, связанную с калибровочной инвариантностью). Есть другие подходы (BCFW recursion relations), в которых никто никакие локальные Лагранжианы вообще не строит. Ну, и, наконец, есть вообще геометрический подход к QFT (см. Amplituhedron), где даже нет места пространству-времени. Но это уже другая история.

[physicsworks]

Name XXX в сообщении #1181785 писал(а):

Однако здесь возникает вопрос, что же значат "нефизичные" поляризации (в чём же состоит их "нефизичность"),

непоперечные фотоны никто не наблюдал, поэтому скалярную и времениподобную поляризации называют нефизичными. Эти состояния не появляются в варианте процедуры квантования когда калибровка фиксируется с самого начала и с самого начала мы работаем только с физическими степенями свободы (двумя для безмассового спин-1 поля). Этот подход имеет недостаток: нужно проверять Лоренц-инвариантность в конце процедуры, для чего из операторов рождения и уничтожения конструируются генераторы группы Пуанкаре и проверятся что они воспроизводят нужную алгебру, а также что одночастичные состояния имеют трансформационные свойства соответствующие безмассовым частицам со спином 1. В ковариантном подходе калибровка не фиксируется с самого начала, мы работаем со всеми (четырьмя) степенями свободы в $A_{\mu}$, из которых две нефизичны, и получаем четыре поляризационных вектора вместо двух. Лагранжиан в этом подходе имеет добавочный член $(\partial A)^2$, а на физические состояния накладывается ограничение: $\langle \text{phys~state~1}| \partial_{\mu} A^{\mu}|\text{phys~state~2}\rangle=0$ (подход Gupta-Bleuer). Этого оказывается достаточным чтобы линейные комбинации из нефизических состояний $|\text{non-phys}\rangle$, соответствующие скалярной и времениподобной поляризациям, были ортогональными любым физическим состояниям $|\text{phys~state}\rangle$ (линейным комбинациям двух поперечных состояний) и ортогональными самим себе. При этом состояния $|\text{phys~state}\rangle$ и $|\text{phys~state}\rangle+c|\text{non-phys}\rangle$ физически эквивалентны (имеют одинаковую энергию, импульс и момент импульса). Это все хорошо работает в свободной теории. Когда включаются взаимодействия, скалярные и времениподобные фотоны появляются в промежуточных состояниях (играют роль виртуальных частиц, хотя, с современной точки зрения, это всего лишь дефекты описания на языке локальных Лагранжианов). Но и в этом случае в in и out состояниях участвуют только поперечные фотоны, что соответствует тому факту, что эти состояния асимптотически свободны.

-- 07.01.2017, 01:40 --

В общем, все это должно быть у Шварца, в том или ином виде. Это на данный момент лучшая книга по QFT, написанная на современном языке.

[Name XXX]

Спасибо! Это - то, что я искал.

Не могли бы Вы помочь с применением оптической теоремы в конкретном случае? Я рассматриваю абелеву киральную теорию с единственным фермионом. В ней есть калибровочная аномалия, и теперь структура гильбертового пространства становится существенной. Я хочу увидеть, как эта аномалия нарушает оптическую теорему на уровне теории возмущений.

Есть оптическая теорема:

$$ 2\text{Im}M_{\alpha \to \alpha} = (2\pi)^{4}\sum_{n}|M_{\alpha \to n}|^{2}\delta (p_{\alpha} - p_{n}) \qquad (0) $$

Я беру такую,

,

диаграмму вакуумной поляризации. Она - шестого порядка теории возмущений, и проблемная потому, что в ней есть аномальные треугольные под-диаграммы. Кроме того, интересным в ней есть то, что она генерирует массу калибровочного поля (в теории, где нет масштаба и речь не идёт о масштабной аномалии, это немного странно, но суть такова). Её мнимая часть в калибровке Фейнмана $\xi= 1$ равна

$$ \text{Im}M_{\gamma \to \gamma}(p) = \int d\rho_{2}\epsilon_{\lambda}(p)T^{\mu\nu\lambda}(p, k_{1}, p+k_{1})T_{\mu \nu\lambda'}(p+k_{1},k_{1},p)\epsilon^{*\lambda'}(p), \qquad (1) $$

где $d\rho_{2}$ - фазовый объём двух частиц с учётом закона сохранения в вершине.

Теперь стоит вопрос о том, какими могут быть $\epsilon^{\mu}(p)$; здесь я и застрял. Ведь калибровка Фейнмана подразумевает квантование свободной теории а-ля Гупты-Блеера, когда в гильбертовом пространстве физ. состояний $|\Psi\rangle$ есть временеподобные $0$ и продольные $||$ фотоны, причём

$$ \big(\hat{a}^{\dagger}_{||}(\mathbf p) - \hat{a}^{\dagger}_{0}(\mathbf p)\big)|\Psi\rangle = 0 $$

Это, я так понимаю, означает, что нужно учесть эти состояния как возможные физические. В теории, в которой сохраняются тождества Уорда, квадрат амплитуды рождения продольной поляризации сокращает квадрат амплитуды рождения поперечной, и потому рождения новых продольных и поперечных не происходит. Но аномалия (а именно - треугольная поддиаграмма $T_{\mu\nu\lambda}$) тождества Уорда нарушает, потому стоило бы рассматривать эти состояния отдельно.

Теперь вот стоит вопрос о том, что дальше делать с оптической теоремой, потому что всё это пока не говорит (по крайней мере, формально) о том, что нарушается унитарность. Я могу подставить в $(1)$ продольную поляризацию $\epsilon^{||}_{\mu}(p)$, заменив

$$ \epsilon^{||}_{\mu}(p)\epsilon^{||}_{\nu}^{*}(p) = \frac{(p_{\mu} - (n\cdot p)n_{\mu})(p_{\nu} - (n\cdot p)n_{\nu})}{(p\cdot n)^{2} - p^{2}}, \quad n_{\mu} = (1,0,0,0) \qquad (2) $$

Благодаря аномалии,

$$ p^{\mu}T_{\mu\nu\lambda}(p, k_{1}, p - k_{1}) \sim \epsilon_{\nu\lambda\rho\delta}k_{1}^{\rho}p^{\delta}, \qquad (3) $$

выражение $(1)$ в ноль не обратится, и не будет (даже по модулю) равно такому же выражению, но где я подставил выражение для времениподобных фотонов.

Теперь возникают другие трудности.

Изначальная амплитуда имеет шестой порядок теории возмущений. И на самом деле, в левой части оптической теоремы $(0)$ будет ещё амплитуда с тремя фермионными петлями. Хоть она и удовлетворяет тождества Уорда, но для продольных поляризаций $(2)$ она, понятное дело, не зануляется, так как остаётся второе слагаемое из $(2)$. Чтобы он сократился, нужно учесть и времениподобную поляризацию $n_{\mu}$, а просто так сложить поляризации на уровне оптической теоремы, вроде, нельзя.

Далее, есть другие проблемы. Мне теперь нужно воспользоваться правой частью оптической теоремы $(0)$. В ней $M_{\alpha \to n}$ должно быть третьего порядка теории возмущений. Единственными диаграммами третьего порядка есть треугольные диаграммы $\gamma \to \gamma \gamma $, $\gamma \to f\bar{f}$. В обычной КЭД я бы занулил их с более-менее спокойной совестью из-за закона сохранения (хоть с амплитудой в два "фотона" есть вопрос). Однако же тут у меня безмассовая теория, и потому непонятно, что делать с инфракрасной проблемой, когда одночастичные состояния, дающиеся полюсами, на самом деле не отличаются от многочастичных разрезов.

Не могли бы Вы подсказать, есть ли какое-то упрощение в этом лесу проблем? Или же тот факт, что оптическая теорема нарушается, тут очевиден и без конкретных вычислений, достаточно, скажем, $(1)$ и $(3)$? Или же я где-то допускаю ошибку?

P.S. Я бы думал, что можно ещё воспользоваться тем наблюдением, что даже если я зафиксирую как начальное состояние поперечную поляризацию $\epsilon_{\perp}(p)$, то всегда смогу найти такое преобразование группы Лоренца (называемое преобразованием малой группы безмассовой орбиты группы Лоренца), что делает

$$ \epsilon^{\mu}_{\perp}(p) \to \epsilon^{\mu}_{\perp}(p) + cp^{\mu}, \quad p^{\mu} \to p^{\mu} $$

И тогда из-за отсутствия выполнения тождеств Уорда будут проблемы. Но всё равно не уверен, как это нарушит оптическую теорему. Да и с правой частью всё ещё проблемы.

[physicsworks]

Почитайте про аномалии у Шварца, глава 30, там очень подробно обсуждается.

[Name XXX]

physicsworks
к сожалению, там только общие вещи...

Занятно, что чем сложнее калибровочная теория, тем проще показать нарушение унитарности. Даже если приписать бозону массу, генерируемую механизмом Хиггса, то уже на уровне двух петель несложно показать нарушение унитарности, даже без оптической теоремы.

[physicsworks]

Name XXX, подробнее в лекциях John Preskill по QCD, глава 3.

[Name XXX]

physicsworks в сообщении #1182357 писал(а):

В свою очередь, чтобы оптическая теорема выполнялась, нужно чтобы в числителе дроби пропагатора частиц стояла сумма по физическим спиновым состояниям.

Я так понимаю, что оптическая теорема в форме

$$ 2\text{Im}M_{\alpha \to \alpha} = (2\pi)^{4}\sum_{n}|M_{\alpha \to n}|^{2}\delta(p_{\alpha} - p_{n}) $$

не предполагает прямо этого. Или предполагает? Если нет, то есть ли какой-то другой вид оптической теоремы, говорящий, что унитарность действительно соблюдается, только если все полюса промежуточных состояний левой части - исключительно физические?