Метод Гаусса-Зейделя при трехдиагональной матрице

[netang]

Здравствуйте. Преподаватель дал дифур, и сказал численно его решить выписав разностную схему второго порядка. Полученную СЛАУ решить методом прогонки и итерационным методом Гаусса-Зейделя. Методом прогонки я без проблем могу получить ответ, но когда использую метод Гаусса-Зейделя, -- он у меня просто расходится, т.к. не выполняется условие диагонального преобладания. Пробовал еще методом Якоби решить, но тоже ничего не выходит, вектор решения уходит в бесконечность. Искал в интернете, но не нашел точного ответа, -- можно ли трехдиагональную матрицу привести к виду с диагональным преобладанием элементов. Еще интересует вопрос, -- возможно, для метода Гаусса-Зейделя есть более мягкое условие на матрицу для сходимости к решению, нежели условие диагонального преобладания?
Спасибо.

[Pphantom]

netang в сообщении #1181302 писал(а):

Искал в интернете, но не нашел точного ответа, -- можно ли трехдиагональную матрицу привести к виду с диагональным преобладанием элементов.

Поскольку в природе существует метод Йордана, в котором матрица в конечном счете приводится к диагональному виду, то, очевидно, такое приведение возможно. Правда, использовать метод Зейделя в такой ситуации явно нерационально.

[ewert]

Pphantom в сообщении #1181303 писал(а):

Поскольку в природе существует метод Йордана, в котором матрица в конечном счете приводится к диагональному виду

Методов приведения матрицы (за конечное время) к диагональному виду не существует, будь те матрицы даже хоть трижды трёхдиагональными и даже симметричными.

netang в сообщении #1181302 писал(а):

но когда использую метод Гаусса-Зейделя, -- он у меня просто расходится, т.к. не выполняется условие диагонального преобладания.

Скорее всего, глюк преподавателя -- где-нибудь знаки перепутал. Ибо в нормальном режиме для краевых задач (а она у Вас явно такая, хоть Вы об этом из скромности и умолчали) этот метод гарантированно работает только в случае знакоопределённости.

[Pphantom]

ewert в сообщении #1181335 писал(а):

Методов приведения матрицы (за конечное время) к диагональному виду не существует, будь те матрицы даже хоть трижды трёхдиагональными и даже симметричными.

Да ладно, Вы отлично поняли, что имеется в виду.

[netang]

Pphantom в сообщении #1181303 писал(а):

Правда, использовать метод Зейделя в такой ситуации явно нерационально.

Да, я тоже так думаю, ведь если имеем матрицу приведенную к диагональному (частный случай условия диагонального преобладания) виду, то вектор неизвестных можно получить за $N$ (размерность матрицы коэффициентов) шагов. Спрашивается, зачем тогда итерационно дальше методом Гаусса-Зейделя считать? Поэтому тут что-то не то. Еще раз проверю правильно ли я расписал разностную схему. Если что, напишу.