Бигамильтонова систем в R^3 с периодмчесимим траеаториями

[scwec]

Пусть $X$ - векторное поле на $\mathbb{R}^3$, $X=x^2(y-z)\frac{\partial}{\partial{x}}+y^2(z-x)\frac{\partial}{\partial{y}}+z^2(x-y)\frac{\partial}{\partial{z}}$, где $x,y,z$ - декартовы координаты.
Докажите, что в любой окрестности $(0,0,0)$ существует периодическая траектория поля $X$, которая несёт на себе ровно три рациональных точки (т.е. точки с рациональными координатами $x,y,z$).

[Red_Herring]

$$\frac{dx}{x^2(y-z)}= \frac{dy}{y^2(z-x)}= \frac{dz}{z^2^2(x-y)}$$

Тогда $d(xyz)=0\implies xyz=a$ и

$$\frac{dx}{x^2(y-a/xy)}= \frac{dy}{y^2(a/xy-x)},$$

откуда $y^2xdx+x^ydy = a (\frac{x}{y} dy + \frac{y}{x}dx)$  и $d(xy)= a (\frac{dx}{x^2}+\frac{dy}{y^2})$.

Это легко интегрируется: $xy + a(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=b$, $xy +a (x+y)/xy =b$.

(Оффтоп)

Меня жена зовет пирог из духовки вынимать.

[scwec]

Маловато будет. Хоть и легко интегрируется. Три рациональных точки, где они?