Вопрос по теории чисел

[maximk]

Помогите пожалуйста найти ошибку в случае её присутствия.
В задачнике "Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычисления" Садовничего, Гашкова, Чубарикова в № 16.89 указывается один интересный факт, ниже изложу его.
Пусть $N=|F_n|$, $F_n$ - последовательность Фарея порядка $n$, $\omega_\nu\in F_n $ $\forall \nu\in\left\lbrace1, ..., N\right\rbrace$, тогда если (1)

$$\lim\limits_{n \to \infty}^{} \sup\limits_{} n^{1-\varepsilon} \sum\limits_{\nu=1}^{N} \delta_\nu^2<\infty$$

, то (2) $|\sum\limits_{k=1}^{n} \mu(k)|=O(n^{1/2 +\varepsilon})$ $\forall\varepsilon>0$, $\delta_\nu=\omega_\nu-\nu/N$. Причем указывается, что (2) эквивалентно гипотезе Римана.
Я попытался поработать с суммой под знаком супремума в (1) и сделать некоторые выводы. В итоге у меня возникла видимость того, что я сумел доказать (1), но мне это кажется весьма сомнительным.
Предоставляю попытки доказательства ниже.
Имеем

$$\sum\limits_{\nu=1}^{N}\delta_\nu^2=\sum\limits_{\nu=1}^{N}(\omega_\nu^2+\frac{\nu^2}{N^2}-2\frac{\omega_\nu\nu}{N})\leqslant$$

, $\omega_\nu\geqslant\frac{1}{n}$ при $\nu\geqslant2$ $\to$ $\omega_\nu^2\geqslant\frac{1}{n^2}$, имеем также $\omega_\nu\leqslant1$ $\forall \nu\in\left\lbrace1, ..., N\right\rbrace$,
$\leqslant\sum\limits_{\nu=2}^{N}\frac{1}{n^2}+\sum\limits_{\nu=1}^{N}(\frac {\nu^2}{N^2}-2\frac {\nu}{N})=$, используя соотношения: $\sum\limits_{\nu=1}^{N}\nu=\frac{N(N+1)}{2}$, $\sum\limits_{\nu=1}^{N}\nu^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$,
$=\frac{N-1}{n^2}+\frac{N(N+1)(2N+1)}{6N^2}-\frac{2}{N}\frac{N(N+1)}{2}=\frac{N-1}{n^2}+\frac{2N+1}{6}+\frac{2N+1}{6N}-N-1=$ $=N(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{3}-1)+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}-1+\frac{1}{6N}-\frac{1}{n^2}=N(\frac{1}{n^2}-\frac{2}{3})-\frac{1}{2}+\frac{1}{6N}-\frac{1}{n^2}$,
убывающей при $n>k$ для некоторого $k\in\mathbb{N}$.
Следовательно, отсюда и из полученного неравенства имеем $\forall\varepsilon>0$ $\lim\limits_{n \to \infty}^{} \sup\limits_{} n^{1-\varepsilon} \sum\limits_{\nu=1}^{N} \delta_\nu^2\leqslant\lim\limits_{n \to \infty}^{} \sup\limits_{} n^{1-\varepsilon}(N(\frac{1}{n^2}-\frac{2}{3})-\frac{1}{2}+\frac{1}{6N}-\frac{1}{n^2})<\infty$ $\to$ $\lim\limits_{n \to \infty}^{} \sup\limits_{} n^{1-\varepsilon} \sum\limits_{\nu=1}^{N} \delta_\nu^2<\infty$.

Надеюсь, что не допустил опечаток при наборе.

[mihiv]

Даже если не вникать в суть задачи, сразу бросается в глаза, что в сумме

maximk в сообщении #1180627 писал(а):

$$\sum\limits_{\nu=1}^{N}\delta_\nu^2=\sum\limits_{\nu=1}^{N}(\omega_\nu^2+\frac{\nu^2}{N^2}-2\frac{\omega_\nu\nu}{N})\leqslant$$

$\omega _{\nu }^2$ заменяется на меньшую величину $\frac 1{n^2}$, а $\omega _{\nu }\leq 1$ в отрицательном слагаемом заменяется на 1. Это уменьшает сумму, поэтому знак неравенства должен быть $\geqslant $.

[maximk]

mihiv, увидил, спасибо.