Определение предела последовательности

[Neinstein]

Доброго времени суток!

Задался вопросом, что будет, если я заранее задам неверное значение предела последовательности и захочу доказать, что данное число является её пределом через определение. И получается, что определение никак меня не ограничивает. Возможно, что-то не так понимаю. Подскажите, пожалуйста.

Достаточно рассмотреть самый простой пример.

Возьму последовательность $\frac{1}{n}$ и предположу, что предел её равен 1.
Тогда $\forall \varepsilon > 0\;\exists N=N(\varepsilon) : \forall n > N \Rightarrow |\frac{1}{n}-1| < \varepsilon $.

Откуда я могу подобрать номер $n > N = \frac{1}{[\varepsilon + 1]}$

В принципе, то же самое подействует для любого числа. В связи с этим возникает предположение, что так доказывать существование предела нельзя. Хотя задачи «докажите, что предел последовательности равен ... по определению» встречаются.

Поясните, пожалуйста, в чём тут загвоздка.
Заранее спасибо!

[wrest]

Neinstein в сообщении #1180394 писал(а):

Откуда я могу подобрать номер $n > N = \frac{1}{[\varepsilon + 1]}$

Не можете. Подберите номер для $\varepsilon=0,1$ например.

[Brukvalub]

Neinstein в сообщении #1180394 писал(а):

Поясните, пожалуйста, в чём тут загвоздка.

Нет никакой передгвоздки, просто вы не умеете решать простейшие неравенства с модулем.

[Aritaborian]

Казалось бы, конец декабря, зачёты уже должны быть сданы...

[Neinstein]

wrest,

упс, не выполняется... А можно как-то заранее отслеживать возникновение подобных ситуаций? Не всегда сразу очевидно, чему равен предел той или иной последовательности. Или лучшая проверка — постараться отыскать такое значение $\varepsilon$, при котором неравенство не выполняется?

И ещё вопрос — чисто формально, если я, например, в этой же последовательности предположу, что предел — отрицательное число и тогда при некоторых значениях $\varepsilon$ выражение справа будет меньше нуля (например, если я выберу -1, справа получу $\frac{1}{\varepslion -1}$), то это всего лишь будет означать, что я для данного $\varepsilon$ (например, 0,5) могу рассматривать элементы со всеми номерами? Т.е. вообще говоря, если так получилось, что номер $n$ может принимать любые значение (т.е. в правой части неравенства число отрицательное), то это ещё не индикатор того, что что-то пошло не так, а за результат в конечном итоге отвечает соотношение между $\varepsilon$ и $N$?

[Brukvalub]

Neinstein в сообщении #1180402 писал(а):

А можно как-то заранее отслеживать возникновение подобных ситуаций? Не всегда сразу очевидно, чему равен предел той или иной последовательности.

Так никто пределы последовательностей с помощью определения предела и не ищет. Для этого есть развитая техника, основанная на свойствах предела и нескольких канонических, базовых, пределах.

[wrest]

Neinstein
Мне кажется, вы не улавливаете суть определения.

Неравенство $|x_n-a|<\varepsilon$ после "раскрытия скобок" модуля и преобразований превращается в два неравенства $a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon$

То есть, начиная с некоторого $n>N$, зависящего от $\varepsilon$, все $x_n$ должны оказаться в интервале $a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon$