Отношение числа к сумме его десятичных цифр

[Ktina]

Существует ровно одно натуральное число, которое в 11 раз больше суммы своих цифр. Это число 198.
А при каких ещё натуральных $k$ существует ровно одно натуральное $n$, которое в $k$ раз больше суммы своих цифр? Конечно или бесконечно множество таких $k$?

[SVD-d]

Спешу предположить, что число 1980 ровно в 110 раз превосходит сумму своих цифр, и это - единственное такое число.

То есть, понятно, что если $k = 110$, то число $n$ должно быть кратно 10, а значит $n/10$ кратно 11, при этом сумма цифр в записи $n$ равна сумме цифр в записи $n/10$. И как я только что узнал, есть только одно натуральное число, которое при делении на 11 даёт сумму цифр в своей записи, т.е. будет существовать ровно одно число, которое будет давать сумму своих цифр при делении на $110$. И ещё одно для $k = 1100$.
Так, с шагом в десять раз, мы получим бесконечное количество натуральных $k$, удовлетворяющих нужному условию.

А вот как найти другие числа - вопрос хороший.

[Ktina]

SVD-d
Большое спасибо за интересное решение!
Теперь бы ещё все такие $k$ найти...

[Yadryara]

Ktina в сообщении #1180239 писал(а):

Теперь бы ещё все такие $k$ найти...

Что-то пока сложно. Ясно только, что все такие $k$ имеют вид $k=3a$ либо $k=3a-1$ для натуральных $a$.

Но далеко не все такие $k$ годятся. Первые неподходящие $k=26$ и $k=27$.

Интересны также такие $k$, для которых есть много натуральных $n$, которые ровно в $k$ раз больше суммы своих цифр. Здесь особняком стоит $37$, для которого существует аж $15$ таких чисел. Наступающий год тоже весьма хорош в этом плане. Для $2017$ существует $16$ таких чисел.

Коротенькая табличка до $18$ уже есть: A058913. Кстати, там ошибка. Правильные значения получаются, если индексы идут с $0$ до $18$, а не с $1$ до $19$.

Продолжение этой последовательности: $16687, 104302, 171586, 174286...$

Интересно посчитать также суммы цифр её членов:

$8, 2, 8, 4, 4, 13, 16, 10, 10, 1, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 28, 10, 28, 28...$

[SVD-d]

Кстати, да. Я в своё время тоже заметил, что чисел k, которые подходят к условию про ровно одно натуральное n, куда больше, чем тех, которые под это условие не подходят.
Я пытался что-то придумать, дошёл до того, что в большинстве случаев $n = 18k$ если $9k$ имеет столько же цифр, что и $k$, и $n = 9k$, если нет. Но дошёл до первого же контрпримера и всё забросил.