Сопромат: куда скорее сломается при изгибе?

[Mikula]

У меня простой вопрос для специалистов.

Дана трубка несимметричного сечения: например, полукруг (см. рис.).

Изгибаем ее в одном из двух направлений: от $\text{А}$ к $\text{Б}$ или обратно. Я хочу объяснить себе, в каком из этих направлений разрушающее усилие больше и почему. Два конкретных вопроса - в конце.

Мои рассуждения. Имеем:
$M = \sigma \cdot W$,
где $M$ - действующая нагрузка (изгибающий момент), $\sigma$ - возникающее напряжение, $W$ - момент сопротивления относительно соответствующей оси $x$ (центральной, перпендикулярной $\text{АБ}$). При этом момент сопротивления равен
$W = \frac{J_x}{z_\text{max}}$,
где $J_x$ - момент инерции относительно оси $x$, $z_{max}$ - расстояние от оси $x$ до наиболее удаленной точки сечения.

Вопросы:
1) Итак, какая разница: игзибаем ли мы от $\text{А}$ к $\text{Б}$ или наоборот? В каком из двух направлений разрушающая нагрузка $M$ больше? Ни одна из приведенных величин от этого не зависит, разве что $z_{max}$ - как она считается: в направлении усилия или направление неважно?

2) Выразим возникающее напряжение $\sigma$. Эта формула дает наибольшее напряжение во всем сечении или (если $z_{max}$ зависит от направления) с ее помощью можно отдельно посчитать напряжение в точках $\text{А}$и $\text{Б}$?

[wide]

Mikula в сообщении #1179816 писал(а):

...
где $J_x$ - момент инерции относительно оси $x$, $z_{\max}$ - расстояние от оси $x$ до наиболее удаленной точки сечения.

"Центральная" ось $x$ при изгибе несимметричного сечения по центру не проходит, потому получаются разные моменты сопротивления для точек $\text{А}$ и $\text{Б}$, соответственно получаются разные напряжения $\sigma$ в этих точках.

Mikula в сообщении #1179816 писал(а):

Вопросы:
1) Итак, какая разница: игзибаем ли мы от $\text{А}$ к $\text{Б}$ или наоборот? В каком из двух направлений разрушающая нагрузка $M$ больше? Ни одна из приведенных величин от этого не зависит, разве что $z_{\max}$ - как она считается: в направлении усилия или направление неважно?

В зависимости от знака приложенного момента получаются разные знаки в крайних волокнах сечения (в точках $\text{А}$ и $\text{Б}$). Например момент приложен так, что верхние волокна сжаты, а нижние растянуты.
Далее находите напряжение в точках $\text{А}$ и $\text{Б}$ и сравниваете их с предельно допустимыми.
Допустим предельно допустимые напряжения при сжатии меньше таковых при растяжении. Поэтому при таком приложенном моменте разрушение произойдет в точке $\text{А}$, т.к. момент сопротивления в этой точке меньше и соответственно напряжения будут больше, чем в точке $\text{Б}$.
Теперь приложим момент так, что верхние волокна растянуты, а нижние сжаты. И опять сравниваете их с предельно допустимыми. Тут может получится, что в точке $\text{А}$ хоть момент сопротивления и меньше, напряжения по модулю больше, но напряжения получились растягивающие, а предельно допустимые напряжения на растяжение больше таковых при сжатии, поэтому тут возможен вариант как разрушения в точке $\text{А}$, так и в точке $\text{Б}$.

Более простой случай, когда предельно допустимые напряжения при сжатии и при растяжении одинаковы, тогда разрушение произойдет в той точке, для которой момент сопротивления меньше (в вашем случае это точка $\text{А}$) и не важно с каким знаком приложен момент.

[realeugene]

Mikula в сообщении #1179816 писал(а):

Дана трубка

Разве, трубка при попытке её согнуть должна рваться, а не мяться?
Не специалист по сопромату, но я ранее думал, что трубогибы нужны как раз потому, что форма трубки начинает меняться и её стенка сминается при попытке согнуть трубку без оправки, то есть, сгибаемую голыми руками трубку в результате плющит задолго до разрушения материала стенки. Интересно будет посмотреть на теоретическое решение от профи в этой области.

[wide]

realeugene в сообщении #1179855 писал(а):

Разве, трубка при попытке её согнуть должна рваться, а не мяться?

Допустим наша трубка из бетона. У него предельно допустимые напряжения при растяжении намного меньше, чем при сжатии. Такая трубка разрушится именно по растянутым волокнам.

Теперь трубка металлическая, у нее предельно допустимые напряжения одинаковые. Но в зоне растяжения металл войдет в стадию пластики и начнет удлиняться, в сжатой зоне он естественно будет сжиматься. Если трубку чем нибудь наполнить, допустим песком или есть специальные пружины, вставляемые в трубку, то они предотвратят коробление металла в сжатой зоне. Ему просто некуда будет сминаться. Но если таких мероприятий не предусмотрено, то в сжатой зоне стенка трубки начнет сминаться внутрь, боковые стенки начнет распирать, что резко изменит форму сечения, резко падают моменты сопротивления, при этом образуется пластический шарнир и трубка складывается пополам. При этом может даже ничего не разрушиться, не будет трещин, но т.к. сложенная пополам трубка считается непригодной к дальнейшему использованию, мы можем сказать, что произошло разрушение по сжатой зоне. Данный тип "разрушения" называют местной потерей устойчивости, и чтобы такого не случалось ограничивают предельно допустимые напряжения при сжатии разными коэффициентами.
Но если мы предусмотрим мероприятия, которые препятствуют проваливанию стенки внутрь (короблению), то возможно разрушение и по растянутой зоне, когда утонченное сечение порвется.

[Mikula]

wide
Большое спасибо! Вы единственный, кто так подробно стал объяснять. И я по-другому теперь смотрю на эту задачу. Но... появились другие вопросы. Может быть, поясните хотя бы кратко?

1) Итак, для выбранной оси (АБ), вдоль которой изучается изгиб, я нахожу в сечении две точки с наибольшими (по модулю) напряжениями: в нашем примере это точки А и Б. С какими именно предельными напряжениями их сравнивать? С прочностью на растяжение/сжатие или с прочностью на изгиб? Насколько я понял, сравнивать нужно с прочностью на растяжение/сжатие, ибо внешние волокна испытывают только эти виды напряжений. Так?

2) Но в таком случае зачем вообще нужна прочность на изгиб, соответствующие таблицы, если как раз при изучении изгиба я ее и не использую?

3) Как насчет прочих видов напряжений, возникающих при изгибе? Касательных, что ли... Которые обозначаются через $\tau$. Мне этим тоже нужно заниматься, если я хочу исследовать возможность слома при заданной нагрузке? Или нормальные напряжения определяют возможность слома полностью?

[realeugene]

wide в сообщении #1180009 писал(а):

Но если таких мероприятий не предусмотрено, то в сжатой зоне стенка трубки начнет сминаться внутрь, боковые стенки начнет распирать, что резко изменит форму сечения, резко падают моменты сопротивления, при этом образуется пластический шарнир и трубка складывается пополам.

Спасибо за подробный рассказ. Наверное, возможность возникновения местной потери устойчивости зависит не только от материала, но и от толщины стенок? Просто воспоминание из детства: тонкостенные металлические трубки при сгибании схлопывались как вы описываете, но когда связисты гнули на 90 градусов трубу, похожую на полудюймовую водопроводную, зажав её конец в щели между бетонными плитами, то труба успешно согнулась не расплющившись полностью, только на внутренней согнутой поверхности образовались складки.

И упомянутые вами коэффициенты для защиты от потери устойчивости, их тоже как-то не слишком сложно считают, или их проще определить экспериментально/подсмотреть в справочнике? Потому что в рассматриваемой задаче, например, интуитивно кажется, что плоская сторона трубки потеряет устойчивость при сжатии гораздо раньше, чем выпуклая наружу.

[wide]

Mikula в сообщении #1180036 писал(а):

1) Итак, для выбранной оси (АБ), вдоль которой изучается изгиб, я нахожу в сечении две точки с наибольшими (по модулю) напряжениями: в нашем примере это точки А и Б. С какими именно предельными напряжениями их сравнивать? С прочностью на растяжение/сжатие или с прочностью на изгиб? Насколько я понял, сравнивать нужно с прочностью на растяжение/сжатие, ибо внешние волокна испытывают только эти виды напряжений. Так?

Да, внешние волокна испытывают либо растяжение, либо сжатие. Но надо смотреть на материал.
Для хрупких материалов (бетон) разделяют предельно допустимые напряжения по пределу прочности при растяжении и сжатии.
Для пластичных материалов (сталь) обычно они равны друг другу и предельно допустимые напряжения вычисляют по пределу пластичности. При вычислении предельно допустимых напряжений при растяжении/сжатии для стали используют одни коэффициенты запаса, а для изгиба другие. Поэтому при расчете на изгиб надо применять предельные напряжения при изгибе.

Mikula в сообщении #1180036 писал(а):

3) Как насчет прочих видов напряжений, возникающих при изгибе? Касательных, что ли... Которые обозначаются через $\tau$. Мне этим тоже нужно заниматься, если я хочу исследовать возможность слома при заданной нагрузке? Или нормальные напряжения определяют возможность слома полностью?

Проверяют раздельно на касательные и нормальные напряжения, т.к. наибольшие нормальные напряжения находятся на максимальном удалении от нейтральной оси, и в этой зоне касательные напряжения небольшие. А там где большие касательные напряжения, там обычно нормальные напряжения малы. Но бывают случаи, когда проверяют сечение на совместное действие напряжений.

-- 26.12.2016, 02:07 --

realeugene в сообщении #1180072 писал(а):

Наверное, возможность возникновения местной потери устойчивости зависит не только от материала, но и от толщины стенок?

Возможно и зависит от толщины, я точно ответить не могу, но также существует возможность приложения разной мощности. Если бы полдюймовку попытались согнуть ковшом экскаватора, то возможно эффект был бы как и на тонкостенной трубке.

realeugene в сообщении #1180072 писал(а):

И упомянутые вами коэффициенты для защиты от потери устойчивости, их тоже как-то не слишком сложно считают, или их проще определить экспериментально/подсмотреть в справочнике? Потому что в рассматриваемой задаче, например, интуитивно кажется, что плоская сторона трубки потеряет устойчивость при сжатии гораздо раньше, чем выпуклая наружу.

Обычно такие вещи считают по руководствам, в них есть и формулы и таблицы. Но там обычно рассмотрены самые простые сечения (круглые, квадратные трубы).
Обычно достаточно знать предельно допустимые напряжения при изгибе. Т.к. при соблюдении этого условия элемент будет оставаться в упругой зоне и после снятия нагрузки вернется к первоначальной форме, т.е. не будет ни складок, ни разрушений.
А вот когда произойдет разрушение вам никто не скажет. Есть граница по предельной нагрузке, разрушение может наступить и при 5% и при 15% ее превышении.

[Батороев]

Mikula
Общее правило выбора рационального положения сечения говорит о том, что наиболее удаленные от нейтральной оси волокна должны подвергаться сжатию.

[Батороев]

Извиняюсь, за неверное утверждение - подвела память. Для каждого материала над подходить дифференцировано.

[wide]

Батороев в сообщении #1180146 писал(а):

Mikula
Общее правило выбора рационального положения сечения говорит о том, что наиболее удаленные от нейтральной оси волокна должны подвергаться сжатию.

Это не совсем так. Необходимо знать полную информацию о расчетной схеме. Допустим у нас свободная балка. Такие балки обычно помимо прочности проверяют на устойчивость из плоскости, при этом предельно допустимые напряжения на сжатие могут быть снижены коэффициентом до 40% от табличных и менее (так называемый коэффициент "фи балочное" при изгибе). Возможны случаи более сложного напряженного состояния, когда в поперечном сечении помимо нормальных напряжений изгиба присутствуют нормальные напряжения от сжатия внешней нагрузкой или по другим причинам, тут методика расчета тоже снижает предельно допустимые напряжения сжатия.
Если говорить упрощенно, то в такой балке при изгибе верхний пояс сжат, вот он и теряет устойчивость из плоскости, т.е. балка ныряет в бок. Поэтому, если нет возможности раскрепить сжатый пояс из плоскости, то имеет смысл верхний пояс сделать более массивным. Это приведет к смещению нейтральной оси к верху, соответственно увеличится момент сопротивления для волокон верхнего пояса, уменьшатся напряжения сжатия.

[Батороев]

wide в сообщении #1180154 писал(а):

верхний пояс сжат, вот он и теряет устойчивость из плоскости, т.е. балка ныряет в бок. Поэтому, если нет возможности раскрепить сжатый пояс из плоскости, то имеет смысл верхний пояс сделать более массивным. Это приведет к смещению нейтральной оси к верху, соответственно увеличится момент сопротивления для волокон верхнего пояса, уменьшатся напряжения сжатия.

То, о чем Вы пишите учитывается тем, что допускаемые напряжения на сжатие для большинства материалов принимаются ниже допускаемых напряжений на растяжение. Если существует реальная опасность потери устойчивости, тогда требуется проводить отдельный расчет на устойчивость.
Неверность моего утверждения заключается в том, что существуют материалы, для которых указанное выше правило не соблюдается, например, для хрупких материалов, для которых намного опаснее растягивающие напряжения.

[Mikula]

wide в сообщении #1180099 писал(а):

Да, внешние волокна испытывают либо растяжение, либо сжатие. Но надо смотреть на материал.

У меня живое дерево на корню. Возможно, с полостью внутри. Изгиб от ветра. Для всех пород древесины, как я вижу по таблицам, предельные напряжения при сжатии, изгибе и растяжении соотносятся так:
$\sigma$(сжатие) < $\sigma$(изгиб) < $\sigma$(растяж).
Причем различия между соседними величинами - раза в 2.2 в первом неравенстве и около 1.6 - во втором.

Вот еще несколько фактов о деревьях. У пород с низкой прочностью (тополь) излом почти гладкий, а у прочных - защепистый. Предел пропорциональности при изгибе составляет приблизительно 0.6-0.7 от предела прочности.

Поясните теперь, если знаете, как все-таки правильно поступать в моей области:
Правило 1) Сравниваем $\sigma_{max} = \max\{|\sigma_A|, |\sigma_B|\}$ (т.е. просто для наиболее удаленной точки) с $\sigma$(изгиб), или
Правило 2) Сравнивать отдельно $\sigma_A$ и $\sigma_B$ с пределами при сжатии/растяжении, в зависимости от направления прилагаемой нагрузки?

Если с уверенностью не можете сказать, посоветуйте, какой вопрос мне изучить, чтобы разобраться в этой задаче.

[wide]

Mikula в сообщении #1180249 писал(а):

У меня живое дерево на корню. Возможно, с полостью внутри. Изгиб от ветра.

Такую конструкцию вы руками не посчитаете. Даже если и сможете замоделировать в каком-нибудь програмном комплексе, то все равно останется неопределенность по предельно допустимым напряжениям, т.к они даются для определенных сортов, определенной влажности, и еще кучи всяких сопутствующих параметров.
Предыдущие пояснения были в основном про металл и бетон, с деревом немного иначе. Но чтобы вы понимали, почему предельно допустимые напряжения при изгибе отличаются от таковых при растяжении/сжатии, предлагаю посмотреть на эпюру нормальных напряжений при изгибе: максимальные напряжения растяжения находятся только на крайних волокнах, потом они падают к нейтральной оси, потом опять растут, но уже как напряжения сжатия, т.е. эпюра треугольная. А вот при центральном растяжении/сжатии по всей площади поперечного сечения напряжения одинаковые, т.е. эпюра прямоугольная, такое напряженное состояние более опасное.

Mikula в сообщении #1180249 писал(а):

Поясните теперь, если знаете, как все-таки правильно поступать в моей области:
Правило 1) Сравниваем $\sigma_{max} = \max\{|\sigma_A|, |\sigma_B|\}$ (т.е. просто для наиболее удаленной точки) с $\sigma$(изгиб)

По этому правилу, если вы выполняете:
1. Расчет изгибаемых элементов, обеспеченных от потери устойчивости плоской формы деформирования, на прочность по нормальным напряжениям.
2. Расчет элементов цельного сечения на прочность при косом изгибе.
3. Расчет криволинейных (гнутых) участков клееных деревянных конструкций, изгибаемых моментом М, уменьшающим их кривизну.

Mikula в сообщении #1180249 писал(а):

Правило 2) Сравнивать отдельно $\sigma_A$ и $\sigma_B$ с пределами при сжатии/растяжении, в зависимости от направления прилагаемой нагрузки?

По этому правилу сравнивают полученное напряжение сжатия с предельно допустимым напряжением при сжатии, если вы выполняете:
1. Проверку устойчивости плоской формы деформирования изгибаемых элементов постоянного двутаврового или коробчатого поперечного сечения.

Отдельно сечение проверяют на скалывание от поперечной силы.
Все, для изгиба по нормам определены именно эти случаи. Дальше есть расчет на осевую силу с изгибом.
Более подробно написано тут: Свод Правил СП 64.13330.2011 "Деревянные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-25-80".

[Mikula]

wide
Из указанных случаев подходит, надо думать, правило 1, п. 1. (Хотя я не понимаю до конца - что там написано.) Допустим, у нас есть подходящее предельное напряжение при изгибе. Вот, вроде, и решение. Смущает только случай, когда ветер дует в сторону точки А - не рискую ли я, завышая предельное напряжение... (Все-таки $\sigma$(сжатие) в 2 раза меньше, чем $\sigma$(изгиб).) Ну и еще то, что, стало быть, нет разницы: дует ли ветер в сторону А или в сторону Б.

[wide]

Mikula в сообщении #1180378 писал(а):

wide
Из указанных случаев подходит, надо думать, правило 1, п. 1. (Хотя я не понимаю до конца - что там написано.)

Боюсь на пальцах тут достаточно трудно объяснить. Правило 1 относится к проверке прочности, когда сечение разрушается не теряя устойчивость. Допустим это короткая балка. Но если балка длинная, то еще до наступления предельных напряжений она нырнет в бок, это называется потеря устойчивости плоской формы. При таком нырке она изменяет свое положение в пространстве и приложенные нагрузки уже действуют на изогнутый элемент, поэтому разрушение наступает при нагрузках меньших, чем если бы мы каким нибудь образом препятствовали такому нырку в бок. Теория расчета потери устойчивости достаточно запутанная, и разработана для сечений простой формы. Для деревянных конструкций потеря устойчивости при изгибе рассмотрена в нормах только для двутаврового и коробчатого поперечного сечения, причем это сечение должно быть постоянным по длине.

Как это можно "натянуть" на расчет ствола живого дерева, которое в пространстве извивается невероятным образом, при этом еще и поперечное сечение меняется по длине, при этом наверняка есть всякие дефекты структуры волокон, микротрещины и т.п. под корой, которые нереально увидеть, я представляю смутно.
Помимо расчета вам еще необходимо собрать ветровую нагрузку, это тоже песня. Далее, т.к. это дерево, и растет оно вертикально, то необходимо производить расчет не на изгиб, а на действие центральной силы с изгибом. Собственный вес ствола и веток дерева будут вызывать сжатие, помимо сжатия будет возникать еще момент от внецентренно приложенной нагрузки от собственного веса, т.к. свол дерева не идеально ровный и вертикальный, и все это еще без воздействия ветра. При ветре вся эта система наклонится и уже будут другие напряжения от собственного веса. Для других конструкций можно этого не учитывать, т.к. нормируются еще и предельно допустимые перемещения, но дерево достаточно гибкое и необходимо это тоже учесть.

Mikula в сообщении #1180378 писал(а):

Допустим, у нас есть подходящее предельное напряжение при изгибе. Вот, вроде, и решение. Смущает только случай, когда ветер дует в сторону точки А - не рискую ли я, завышая предельное напряжение... (Все-таки $\sigma$(сжатие) в 2 раза меньше, чем $\sigma$(изгиб).) Ну и еще то, что, стало быть, нет разницы: дует ли ветер в сторону А или в сторону Б.

Да, это и есть решение, если вы рассматриваете короткую деревянную балку постоянного сечения. Вот я посмотрел СП 64.13330.2011 и увидел в таблице 3, что предельные напряжения изгиба, сжатия и смятия вдоль волокон для древесины сорта (класса) 1/К26 одинаковы и равны 14 МПа, предельные напряжения растяжения вдоль волокон 10 МПа. Вот если вести расчет именно для такого сорта древесины, то при изгибе (на прочность, либо устойчивость) вы берете предельные напряжения, не важно какого знака как 14 МПа. Но если захотите расчитать не балку, а допустим подвес, когда напряжения растяжения будут распределены равномерно по поперечному сечению, и при этом усилие растяжения будет приложено вдоль волокон, то необходимо пользоваться предельным напряжением 10 МПа.

При этом, при расчете, не забывать добавлять всяческие коэффициенты, которые оговорены в СП. Прочитайте этот документ внимательно. В самом начале читайте особенно внимательно.