infinite series

[man111]

$\displaystyle \sum^{\infty}_{m=1}\frac{1}{(36m^2-1)^2}$

[DeBill]

$\sum\limits_{}^{} =$
[из $\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} = \frac{2}{x^2 - 1}$ получим]
$=\frac{1}{4} \sum\limits_{m=1}^{\infty} (\frac{1}{(6m-1)^2} + \frac{1}{(6m+1)^2} - (\frac{1}{6m-1} - \frac{1}{6m+1}))$
1.Рассмотрим суммы $\sum\limits_{}^{}\frac{1}{n^2}$:
$S_1$ - по всем $n$
$S_2$ - по четным
$S_3$ - по кратным 3, $S_6$ - по кратным 6.
Ясно, что $S_2 = \frac{1}{4}S_1, S_3 = \frac{1}{9}S_1, S_6 = \frac{1}{36}S_1$
Известно, что $S_1 = \frac{\pi^2}{6}$.
В большой сумме выше, первые два слагаемых: они останутся, если из $S_1$ вычесть $S_2$ и $S_3,$ и прибавить $S_6$.
2. Оставшиеся два слагаемых дают ряд
$\frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{11} - \frac{ 1}{13}+. ..$.
Такой ряд получится, если сосчитать интеграл
$\int\limits_{0}^{1} (x^4-x^6 + x^{10} - x^{12}+ ...) dx$
Сумма ряда равна $\frac{x^4\cdot (1-x^2)}{1-x^6} = \frac{x^4}{1+x^2+x^4}$
Разлагая в сумму простейших дробей (нули знаменателя - легко: они - корни из единицы шестой степени), сосчитаем интеграл, и получим ответ, который считать таки лень....

[man111]

Thanks DeBill