2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите найти определенный интеграл
Сообщение23.12.2016, 09:51 
Всем доброе время суток!

Помогите найти интеграл

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\exp \left ( -\frac{1}{2}\frac{1+k^{2}}{\cos^{2} \gamma +k^{2}\sin^{2} \gamma} \right )d \gamma,$

где $k$ может принимать значения от $0$ до $1$, $\gamma$ - переменная интегрирования (в угловых единицах).

Решал методом Ньютона-Котеса при $m=6$ с точностью до $15$ знака после запятой. Вычисления получаются ну уж больно громоздкими.

Кто нибудь может подсказать другие методы решения данной задачи, например разложением в ряды?

Можно ли решить задачу с использованием функции erf (функции ошибок (функции Лапласа или интеграла вероятности))?

 
 
 
 Re: Помогите найти определенный интеграл
Сообщение23.12.2016, 10:56 
YuryNav
Можно попробовать так:
1. Разлагаем экспоненту по Тейлору.
2. Делаем замену $t=\tg x$. Получим кучу интегралов типа
$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{(1+t^2)^{n-1}}{(1+k^2t^2)^n}dt$$
3. Из $k^2(1+t^2) = (k^2 -1) + (1+k^2t^2)$, разлагая по биному числитель, сведем к интегралам вида
$$\int\limits_{0}^{\infty} \frac{dt}{(1+k^2t^2)^m}$$
4. Последние интегралы считаем по ТФКП (или через рекк. формулы)

Итого: получится довольно громоздко, но - считабельно: ряд сходится довольно быстро; по прикидкам, для вашей точности (15 знаков) потребуется примерно 15 членов ряда

 
 
 
 Re: Помогите найти определенный интеграл
Сообщение23.12.2016, 14:30 
Спасибо DeBill.

Буду пробовать.

сразу вопрос:
разложение по Тейлору или по Маклорену? Если по Тейлору, то какой параметр $a$?

 
 
 
 Re: Помогите найти определенный интеграл
Сообщение23.12.2016, 16:43 
Аватара пользователя
$a=0$?

 
 
 
 Re: Помогите найти определенный интеграл
Сообщение23.12.2016, 22:49 
Уважаемый Someone, при $a=0$, ряд Тейлора называется рядом Маклорена. В этом и был вопрос. Спасибо.

 
 
 
 Re: Помогите найти определенный интеграл
Сообщение11.01.2017, 10:41 
Спасибо всем ответившим.
Разобрался с вариантом DeBill.
Может кто нибудь подскажет другие методы?

 
 
 
 Re: Помогите найти определенный интеграл
Сообщение12.01.2017, 20:49 
YuryNav
А в чем трудность? Подынтегральная функция меняется достаточно плавно , мне кажется формула Симпсона должна дать хороший результат.

 
 
 
 Re: Помогите найти определенный интеграл
Сообщение16.01.2017, 11:08 
Спасибо за ответ mihiv.
Пробовал я формулу Симпсона. При $k$ близкой к $0$ вычисления очень громоздкие.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group