Парадоксы теории множеств

[russellpar]

Теория множеств Кантора была отвергнута на основании того, что могла содержать противоречивые утверждения, такие как парадокс Рассела. А почему, собственно?

Расселовского множества существовать не может, это само-сабой, но почему на этом основании отвергается сама теория? Например, мы можем сформулировать утверждение в арифметике: "натуральное число, сумма которого меньше этого числа". Такое число тоже существовать не может. Должны ли мы на этом основании отвергнуть арифметику? В чем разница?

[Xaositect]

Разница в том, что в теории с неограниченным выделением не только можно сформулировать понятие "множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента", но и доказать его существование.

[russellpar]

Xaositect в сообщении #1178906 писал(а):

но и доказать его существование

Как это? Например для Расселовского множества парадокс как раз и служит доказательством того, что такое множество существовать не может. Как доказать обратное?

[Mikhail_K]

russellpar в сообщении #1178903 писал(а):

В чем разница?

Разница в том, что в канторовской "наивной" теории множеств не было внятно сформулировано, какие множества допускаются, а какие нет. И "по умолчанию" считалось, что строить можно какие угодно множества, в т.ч. и множество всех множеств.
С этой точки зрения, канторовская теория - вообще не теория в строгом смысле.
В аксиоматической теории множеств как раз и указывается, как можно строить множества, а как нельзя.

Если всё-таки попытаться канторовскую наивную теорию множеств сформулировать в строгом виде, то там допускаются любые множества вида $\{x\,|\,P(x)\}$ (множество всех элементов $x$, удовлетворяющих условию $P(x)$; это условие может быть каким угодно). Например, если взять в качестве $P(x)$ условие $x=x$, которому, очевидно, удовлетворяют все возможные элементы, то как раз и получим "множество всех элементов" (что ничуть не лучше, чем "множество всех множеств").

Другими словами, в канторовской наивной теории множеств постулируется существование каких угодно множеств, любых (при этом, если условие $P(x)$ противоречиво, то это будет просто пустое множество, и оно тоже существует - в этом пока нет противоречия). А в парадоксах показывается, что наоборот, некоторые множества не существуют. Вот это и есть противоречие, заставляющее отказаться от наивной теории и более строго формулировать (в аксиомах), какие множества строить допустимо, а какие нет.

russellpar в сообщении #1178903 писал(а):

Например, мы можем сформулировать утверждение в арифметике: "положительное натуральное число, сумма которого меньше этого числа".

Это не утверждение.

[russellpar]

Mikhail_K
А в арифметике явно сформулировано, какие числа(формулировки, формулы, определения etc) допускаются? Приведенный мой пример каким-то конкретным аксиомам арифметики противоречит?

[Xaositect]

russellpar в сообщении #1178911 писал(а):

А в арифметике явно сформулировано, какие числа(формулировки, формулы, определения etc) допускаются?

Да. Допускается $0$, и для любого натурального $n$ допускается $n + 1$.

[russellpar]

Xaositect в сообщении #1178913 писал(а):

Допускается $0$, и для любого натурального $n$ допускается $n + 1$

И чем это противоречит приведенному мной примеру?

[Mikhail_K]

russellpar в сообщении #1178911 писал(а):

А в арифметике явно сформулировано

Ну, в "наивной арифметике", которую проходят дети в начальной школе, ничего явно не сформулировано, конечно. В этом смысле она ничем не лучше наивной теории множеств - разве что тем, что к противоречиям всё-таки не приводит.
В настоящей математике - конечно, всё определено и сформулировано. Даже можно это сделать несколькими разными способами - через аксиомы Пеано, или на основе теории множеств (определяя натуральные числа как конечные ординалы), или ещё как-нибудь.
Ни в одном из этих способов не постулируется существование "чисел, удовлетворяющих каким угодно условиям". Поэтому, если Вы указываете условие, которому не удовлетворяет ни одно число, это не приводит к противоречию.
А вот в наивной теории множеств постулировалось существование множеств с какими угодно условиями $P(x)$ на элементы $x$ любой природы. Парадоксы ведут к противоречию с этим постулатом теории, и теорию опровергают.

russellpar в сообщении #1178911 писал(а):

Приведенный мой пример

Приведённый Вами пример

russellpar в сообщении #1178903 писал(а):

натуральное число, сумма которого меньше этого числа

я не понимаю. Что значит "сумма натурального числа"?

[Deggial]

russellpar заблокирован как злостный клон.