Случайный стационарный процесс, корреляционная функция

[DewDrop]

Локатор излучает случайный стационарный сигнал с корреляционной функцией $K(t) = K_0 e^{-\frac{|t|}{|t_0|}} $, где $t_{0}$ = 1мкс. Измеряется взаимная корреляционная функция излучаемого сигнала и задержанного сигнала, который отражается от цели. По максимуму корреляционной функции определяется задержка (расстояние до цели). Оценить точность измерения задержки за $T = 1c$.
Я не очень понимаю как решать задачу, но мне кажется следующее: взаимная корреляционная функция = автокорреляционная функция, т.к. это один и тот же сигнал в разные моменты времени. Также, поскольку на входе радиолокационного приемника всегда присутствует шум, результирующее принимаемое сообщение $Y(t)$ можно представить следующим образом: $Y(t)= AX(t-T)+N(t)$, где $A$ - постоянная, $N(t)$ - шум приемника.
Взаимная ковариационная функция переданного сигнала и сигнала на входе приемника равна:
$R_{xy}(\tau )$ = $ E[X(t) Y(t+\tau)] = AR_{xx}(\tau -T)+R_{xN}(\tau ).$
Так как сигнал и шум статистически независимы, то $R_{xN}(\tau )=0$, то уравнение преобразуется к виду: $R_{xy}(\tau )= AR_{xx}(\tau -T)$.
Максимальное значение автокорреляционной функции соответствует $\tau = T$ и это время позволит определить расстояние.
Но что делать дальше, как избавиться от константы и главное: как оценить точность времени задержки?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
Тем не менее собственные содержательные попытки решения все-таки требуются. И проверьте выражение для корреляционной функции, по-видимому, в нем есть опечатка.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: тематика более соответствует этому разделу.

[Alex-Yu]

DewDrop в сообщении #1178205 писал(а):

как оценить точность времени задержки?

Попробуйте сообразить, как написать плотность вероятности времени задержки. Естественно, при этом придется принять некую гипотезу на счет шума, видимо, белый гауссовский шум.

Чтобы не заморачиваться с математическими тонкостями, удобнее работать с дискретными сигналами (по т.Котельникова всегда к ним можно перейти). Тогда плотность вероятности того, что белый гауссовский шум равен набору отсчетов $N_i$ задается простой формулой:

$$ A \exp \left( - \sum_i \frac{N_i^2}{\sigma} \right) $$

Чему равна константа $A$ можно определить из условия нормировки (полная вероятность = 1), но на самом деле это даже не надо, все равно чему она равна.

Еще подсказка. Если на самом деле сигнал $S_i$ а мы приняли, что сигнал равен... как бы обозначить... ну пусть $\tilde{S}_i$, то это означает, что шум равен $N_i=S_i-\tilde{S}_i$. Чему равна плотность вероятности такой реализации шума?

[DewDrop]

Alex-Yu
А можно решить с помощью понятий корреляционных функций, не переходя к спектральному представлению и плотностям вероятности?

[Alex-Yu]

DewDrop в сообщении #1178486 писал(а):

А можно решить с помощью понятий корреляционных функций, не переходя к спектральному представлению и плотностям вероятности?

Кореляционные функции ПОЯВЛЯЮТСЯ в процессе решения. Спектральное представление здесь вообще ни при чем. Без вероятностей определить точность нельзя уж только потому, что точность очевидно зависит от вероятности ошибки.

[DewDrop]

Alex-Yu, $ A\exp(-\sum_i \frac{(S_i - \tilde{S}_i)^2}{\sigma})$?

[Alex-Yu]

DewDrop в сообщении #1178570 писал(а):

Alex-Yu, $ A\exp(-\sum_i \frac{(S_i - \tilde{S}_i)^2}{\sigma})$?

Ну а квадрат раскрыть? И увидеть корреляционные фукции. Кстати, у Вас $S$ и $\tilde{S}$ отличаются только сдвигом во времени (отсюда и возникнет АКФ). Дальше думайте самостоятельно (я и так СЛИШКОМ уж "разжевал"). А не сумеете --- тогда меняйте профессию.