Поиск интеграла

[DNB]

Нужно решить такой интеграл:

$$\int_{(n-1/2)s(y)}^{(n+1/2)s(y)} {\frac{\partial}{\partial y}}f(x,y)dx$$

мне кажется его решение должно быть следующим

$${\frac{\partial}{\partial y}}\int_{(n-1/2)s(y)}^{(n+1/2)s(y)}f(x,y)dx$$

Обозначим f(s(y)n,y) = f(n) и найдем интеграл по формуле средних, тогда получим

$${\frac{\partial}{\partial y}}(f(n)*s(y))$$

Но в книжке из которой я взял этот интеграл есть еще одно слагаемое решения, кроме той что я привел выше -

$$1/2*{\frac{\partial s(y)}{\partial y}}[(n+1/2)(f(n+1)+f(n)) -(n-1/2)(f(n) + f(n-1))]$$

f(n+1) и f(n-1) должно быть это f((n+1)*s(y), y) и f((n-1)*s(y), y)
Кто нибудь может подсказать откуда эта часть решения?

[GAA]

В надежде, что Вы поправите, запишу несколько по-другому.

$${\frac{\partial}{\partial y}}\int\limits_{(n-1/2)s(y)}^{(n+1/2)s(y)}f(x,y)dx =$$

$$ \frac{\partial s(y)}{\partial y}[(n+1/2)f(n+1/2) - (n-1/2)f(n+1/2)] + \int\limits_{(n-1/2)s(y)}^{(n+1/2)s(y)} {\frac{\partial}{\partial y}}f(x,y)dx.$$

Затем $f(n+1/2)$ заменяем на $1/2[f(n)+ f(n+1)]$, а $f(n-1/2)$ — на $1/2[f(n-1)+ f(n)]$. Здесь $f(n+1)$ — это $f((n+1)s(y), y)$, $f(n-1)$ — аналогично.
($\frac{\partial s(y)}{\partial y}[(n+1/2)f(n+1/2) - (n-1/2)f(n+1/2)]$ — это дифференцирование интеграла по верхнему и нижнему пределам интегрирования).

У меня не так как в Вашей книге, или я совсем Вас не понял?

[DNB]

Всё так.
Поправьте меня пожалуйста если я не понял, то что Вы записали - это дифференцирование интеграла, когда пределы интегрирования содержат функцию от переменной по которой берется производная? Честно говоря никогда с таким не приходилось сталкиваться, не могли бы Вы записать правило(формулу) дифференцирования в таком случае?

[LynxGAV]

Формула Лейбница

[DNB]

Большое спасибо, сам только что сообразил. мне пора лечиться

[GAA]

Помимо указанной в Википедии книги [1], можно посмотреть, например, и в книгах [2,3,4].

1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. Т.II. — М., 2007. Гл. 7, §2, n2.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Т.II. — М., 1980. Гл. 9, §1, п3.
3. Фихтенгольц М.Ф. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.II. — М., 1966. Гл.14, §1, п509.
4. Никольский С.М. Курс математического анализа. TII. — М., 1991. §13.12.

[DNB]

Огромное спасибо!