Как вывернуть сферу наизнанку?

[matemat]

Мне нужно подготовиться к зачету. Преподаватель от меня хочет услышать ответ на этот вопрос. Я ему должен показать как это сделать.
Посмотрел теорему:

Цитата:

Пусть есть стандартное вложение $f: S^2 \to R^3$, тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство гладких погружений $f_t: S^2 \to R^3, t\in[0,1]$ такое, что $f_0 = f $ и $f_1 = - f$.

Но как это доказать я плохо понимаю! Помогите, пожалуйста! Хотя бы общая схема!

[gris]

В Вашей формулировке решение тривиально: $f_t=f$
Кое-что пропустили.

[matemat]

Ну да! Спасибо! Исправил.

[gris]

Это теорема Смэйла из гомотопической топологии. У Фоменко в учебнике (не по истории!) есть понятные объяснения. Обратите внимание, что при выворачивании допускаются самопересечения при соблюдении гладкости.

[matemat]

gris, спасибо :) Сейчас посмотрю.

[Munin]

На эту тему есть замечательный ролик на Ютубе. Англоязычный - точно, а возможно и с переводом. Обязательно посмотрите!

-- 18.12.2016 15:32:20 --

https://www.youtube.com/watch?v=p8zPx41oxwE
https://www.youtube.com/watch?v=eyNhhRCCMiI
(В сумме 20 минут. Английский звук + русские субтитры.)

[matemat]

gris в сообщении #1178076 писал(а):

У Фоменко в учебнике (не по истории!) есть понятные объяснения

Я нашел в учебнике теорему о существовании на гладком компактном многообразии функций Морса. Там же упоминается, что в более общем виде эту теорему доказал Смейл. Теорема Морса и теорема Смейла о существовании непрерывных гладких погружений - получается одно и то же?

-- 18.12.2016, 17:38 --

Как Вы думаете, если я переформулирую теорему Смейла в такой вид и потом докажу это, так будет честно?

Цитата:

Любые два погружения $S^2 \to R^3$ регулярно гомотопны.

[gris]

Если честно, то я сдавал дифгем не приходя в сознание и из учебников помню только любимые места. Боюсь напутать

[matemat]

А Вы про какой учебник Фоменко? Я смотрел в его курсе гомотопической топологии.

[gris]

Ну да. Есть ещё курс дифференциальной геометрии и топологии, современная геометрия Новикова. Я раньше мог разговаривать на эти темы, а сейчас уж не рискну.Но выворачивание сферы не относится к очень трудным вопросам.

[matemat]

Это для Вас он не очень трудный, но говорить опасаетесь, а я затрудняюсь в вопросе, но кое-как говорю
Я не смог найти подходящий источник с полным доказательством теоремы.

[Munin]

Уточнение: в указанном видеоролике описана процедура Тёрстона - одна из многих, разработанных разными математиками для выворачивания сферы.

[matemat]

По видимому процедур выворачивания много. А где интересно в формализованном виде посмотреть процедуру Тёрстона?
Какая то проблема с доказательством и такой вот формулировкой теоремы Смейла. Я в упор не вижу этой теоремы в учебниках по гомотопу, алгетопу и дифгему. Читаю оглавление - нет. Читаю предметные указатели - тоже нет! Зато есть куча других теорем - теорема Штифеля, Уитни, ...

[gris]

Если ещё актуально, то попробуйте найти книжку С.П. Новикова "Топология". Глава 4 "Гладкие многообразия", п. 4 "...Теория иммерсий...". Там как раз эти вопросы обсуждаются. Наверное, я перепутал это с Фоменко. Ну, немудрено. Вы правы насчёт регулярной гомотопности, но, собственно, это же и надо доказать. А это следует из того, что классы регулярных погружений определяются элементами соответствующей гомотопической группы, которая в вашем случае просто вырождается. А если есть всего один класс, то откуда взяться негомотопным иммерсиям?
Но дело в том, что вот эта гомотопология похожа на школьную геометрию. Такое же нагромождение теорем, которые можно переставлять по следованию друг из друга. У каждого ценящего себя профессора свой курс, и они часто ревниво относятся к сторонним учебникам. А иногда любят это. Не угадаешь.

[matemat]

gris, еще актуально! Спасибо!