Задачка по динамике

wide · 18/09/16 121

michaelkehl в сообщении #1177051 писал(а):

Если бы вы (или кто-то еще) могли на парочке примеров объяснить применение теоремы на пальцах, было бы замечательно, т.к. в своих лекциях хорошего примера я не нашёл.

Вам не нужны примеры, лучше понять как она выводится.
Момент инерции тела относительно оси есть сумма (интеграл) произведения массы каждого малого объема тела на квадрат расстояния до оси. Т.е. тело делится на малые "кусочки" и суммируется произведение $m_ir^2_i$ , где $r^2_i=x^2_i+y^2_i$ . Например для стержня есть только координата $x$ , и момент инерции равен $I_z=\sum\limits_{i}^{}m_ix^2_i$=\int\limits_{}^{}x^2dm$ .
Теперь найдем момент инерции стержня относительно оси $z-z$ , только координату каждого рассматриваемого "кусочка" выразим так $x_i=x'_i+X_c$ , где $X_c$ - координата центра масс стержня (через нее проходит ось $c-c$ , т.е. это и есть расстояние между двумя осями).
$I_z=\sum\limits_{i}^{}m_ix^2_i=\sum\limits_{i}^{}m_ix'^2_i+2\sum\limits_{i}^{}m_ix'_iX_c+\sum\limits_{i}^{}m_iX^2_c$ Первая сумма, это момент инерции тела относительно центра масс $I_c$ .
Третья сумма, это произведение массы на квадрат расстояния между осью, проходящей через центр масс, и осью, относительно которой вычисляют момент инерции, т.е. $MX^2_c$ .
А вторая сумма равна нулю, это очевидно.
В итоге: $$I_z=I_c+MX^2_c$$

michaelkehl · 12/12/16 7

Munin в сообщении #1177052 писал(а):

michaelkehl в сообщении #1177051 писал(а):

Центр масс у нас лежит на пересечении медиан в точке $C$

Нафиг. Вы ищете момент инерции отдельно отрезка $AB.$ А его центр масс лежит в точке $D.$ Вот туда и перемещайте ось.

Понял косяк, а я всё для тела делал, т.е. для треугольника

-- 15.12.2016, 21:49 --

wide в сообщении #1177076 писал(а):

michaelkehl в сообщении #1177051 писал(а):

Если бы вы (или кто-то еще) могли на парочке примеров объяснить применение теоремы на пальцах, было бы замечательно, т.к. в своих лекциях хорошего примера я не нашёл.

Вам не нужны примеры, лучше понять как она выводится.
Момент инерции тела относительно оси есть сумма (интеграл) произведения массы каждого малого объема тела на квадрат расстояния до оси. Т.е. тело делится на малые "кусочки" и суммируется произведение $m_ir^2_i$ , где $r^2_i=x^2_i+y^2_i$ . Например для стержня есть только координата $x$ , и момент инерции равен $I_z=\sum\limits_{i}^{}m_ix^2_i$=\int\limits_{}^{}x^2dm$ .
Теперь найдем момент инерции стержня относительно оси $z-z$ , только координату каждого рассматриваемого "кусочка" выразим так $x_i=x'_i+X_c$ , где $X_c$ - координата центра масс стержня (через нее проходит ось $c-c$ , т.е. это и есть расстояние между двумя осями).
$I_z=\sum\limits_{i}^{}m_ix^2_i=\sum\limits_{i}^{}m_ix'^2_i+2\sum\limits_{i}^{}m_ix'_iX_c+\sum\limits_{i}^{}m_iX^2_c$ Первая сумма, это момент инерции тела относительно центра масс $I_c$ .
Третья сумма, это произведение массы на квадрат расстояния между осью, проходящей через центр масс, и осью, относительно которой вычисляют момент инерции, т.е. $MX^2_c$ .
А вторая сумма равна нулю, это очевидно.
В итоге: $$I_z=I_c+MX^2_c$$

В принципе, вроде всё понятно написано. Три суммы получились, т.к. мы разложили по квадрату суммы координату $x_i=x_i'+X_c$ ?
Первая сумма в итоге получилась как известный момент инерции для стержня, я правильно понимаю? Ну и третья тоже понятно, как вы написали. Координата $X_c$ у нас рассчитывается именно от той оси ( для которой мы ищем), получается? Чтобы получилось расстояние между осями.
Только еще немножко не понял, почему оси таким образом обозначили вы?
И в итоге, чтобы вычислить момент инерции тела относительно какой-то оси, нам надо знать лишь момент инерции данного интересующего нас тела относительно его центра масс, и расстояние между этими осями? Как-то теперь звучит совсем легко :-)