Поток алгебр/сигма-алгебр

[Valenok123]

Хотелось бы чуть-чуть подробнее разобраться в фильтрациях. На форуме уже имелось подобное обсуждение, где было такое сообщение:

--mS-- в сообщении #744237 писал(а):

Когда у нас есть одна случайная величина, особый интерес представляет порождённая ей сигма-алгебра $\sigma(\xi)=\sigma\{\xi^{-1}(B), B\subseteq \mathfrak B(\mathbb R)\}$ - минимальная сигма-алгебра подмножеств пространства элементарных исходов, относительно которой измерима эта случайная величина. В терминах порождённых сигма-алгебр описывается, например, зависимость и независимость случайных величин.
Для случайного процесса как (огрубляю) "совокупности случайных величин" точно так же полезно в любой момент времени интересоваться, например, сигма-алгеброй, порождённой процессом к этому моменту времени. Скажем, есть у нас процесс суммирования независимых случайных величин $S_n=\xi_1+\ldots+\xi_n$. Пусть сигма-алгебра $\mathcal F_m$ порождена $\{S_k,\, k\leqslant m\}$. Это будет сигма-алгебра, порождённая величинами $\xi_1,\ldots,\xi_m$, т.е. минимальная сигма-алгебра, содержащая все прообразы всех борелевских множеств $\xi_i^{-1}(B)$, $i=1,\ldots,m$.
Величина $S_{m+1}=S_m+\xi_{m+1}$ уже не будет измерима относительно этой сигма-алгебры. Однако будет измерима относительно $\mathcal F_{m+1}$, которая шире, чем $\mathcal F_m$. Вот и получился поток сигма-алгебр, изначально построенный по некоторому процессу. Каждая сигма-алгебра в потоке содержит некую информацию о своём куске процесса.

Правильно ли я понимаю?
Пусть имеется случайный дискретный процесс суммирования независимых случайных величин $S_n=\xi_1+\ldots+\xi_n$, который порождает сигма-алгебру $\mathcal F_m=\sigma\{S_k,\, k\leqslant m\}$.
Тогда $\mathcal F_m$ можно расписать:

$$\mathcal F_m=\sigma\{S_k,\, k\leqslant m\}=\sigma\{S_1,\, S_2,\, S_3, ... ,\, S_m\}=$$ \sigma\{\xi_1;\,\xi_1+\xi_2; \, \xi_1+\xi_2+\xi_3;\ldots;\,\xi_1+...+\xi_m\} $$

Последнее равенство в выражении я могу расписать как:

$$\mathcal F_m=\sigma\{\xi_1^{-1}(B_1),\,(\xi_1+\xi_2)^{-1}(B_2), \, \ldots, \,(\xi_1+...+\xi_m)^{-1}(B_m): B_1, \ldots, B_m\in \mathfrak B(\mathbb R)\}?$$

Если да, то тогда данная сигма-алгебра будет минимальной, которая содержит все прообразы всех борелевских множеств вида: $(\sum\limits_{j=1}^{i}\xi_j)^{-1}(B)$, \,$i=1,\ldots,m $ ?
При этом я не могу расписать $(\sum\limits_{j=1}^{i}\xi_j)^{-1}(B)$ как $(\sum\limits_{j=1}^{i}\xi_j(B))^{-1}$ или $\sum\limits_{j=1}^{i}(\xi_j^{-1}(B)), \,i=1,\ldots,m$. Верно?

[--mS--]

Valenok123 в сообщении #1175314 писал(а):

При этом я не могу расписать $(\sum\limits_{j=1}^{i}\xi_j)^{-1}(B)$ как $(\sum\limits_{j=1}^{i}\xi_j(B))^{-1}$ или $\sum\limits_{j=1}^{i}(\xi_j^{-1}(B)), \,i=1,\ldots,m$. Верно?

Конечно, не можете - оба выражения справа бессмысленны.

(Оффтоп)

Кстати, я вернусь в своё сообщение, которое Вы процитировали, и исправлю опечатку в первой формуле - режет глаз.

[Valenok123]

Скажите, а как показать, что сигма-алгебра $\sigma\{\xi_i^{-1}(B), B\in \mathfrak B(\mathbb R),i=1,\ldots,m\}=\sigma\{(\sum\limits_{j=1}^{i}\xi_j)^{-1}(B)$, \,$i=1,\ldots,m, B\in \mathfrak B(\mathbb R)\}$

Конечно, я понимаю, что нужно показать сначала, что система порождающих множеств одной сигма-алгебры лежит в другой, а затем наоборот. Но я не могу понять, как показать, что $(\sum\limits_{j=1}^{i}\xi_j)^{-1}(U)\in \sigma\{\xi_i^{-1}(B), B\in \mathfrak B(\mathbb R),i=1,\ldots,m\}$ для любых $U\in \mathfrak B(\mathbb R)$ и любых $i=1,\ldots,m$?

[--mS--]

Знаете, как доказывается измеримость суммы двух измеримых величин?

$$\{\omega\, |\, \xi_1(\omega)+\xi_2(\omega) < x\} = \bigcup\limits_{q\in\mathbb Q}\{\omega\,|\,\xi_1(\omega) < q\}\cap \{\omega\, |\, \xi_2(\omega) < x-q\} \in \sigma\{\xi_1, \xi_2\}.$$

Чтобы перейти слева от лучей к произвольным борелевским множествам, достаточно метода подходящих множеств: множество $\mathfrak U=\{B\, |\,(\xi_1+\xi_2)^{-1}(B)\in\sigma\{\xi_1,\xi_2\}\}$ является сигма-алгеброй (проверяется непосредственно) и включает все лучи. Стало быть, $\mathfrak B(\mathbb R)\subseteq \mathfrak U$.