Матричное представление оператора. Диаганализируемость.

[Archie_Sawicki]

Здравствуйте друзья! Хотел спросить. Только ли нормальные операторы в конечномерном линейном пространстве могут быть приведены к диагональному виду путем замены базиса согласно спектральной теореме, или найдутся те, которые так же можно привести к главным осям, однако эти оси не будут ортогональными. Т.е я понимаю спектральная теорема формулируется для таких операторов (нормальных), которые обладают полной системой из собственных векторов, а главное ортогональных друг другу! Но вопрос именно в том, что найдутся ли операторы, которые будут обладать полной системой из собственных векторов, но не ортогональных друг другу, однако в базисе из которых матрица оператора примет всеми любимый диагональный вид. Спасибо!

[Xaositect]

Очевидно, да. Возьмите какие-нибудь неортогональные векторы, и определите оператор, для которого они будут собственными (с разными собственными значениями).

[Archie_Sawicki]

Xaositect в сообщении #1176931 писал(а):

Очевидно, да. Возьмите какие-нибудь неортогональные векторы, и определите оператор, для которого они будут собственными (с разными собственными значениями).

извините, а почему для них нет какой то общей теоремы? или я так понимаю спектральная теорема важна именно ортогональностью собственных векторов, что позволяет разложить по ним оператор через сумму проекторов да?

-- 14.12.2016, 19:38 --

Xaositect в сообщении #1176931 писал(а):

Очевидно, да. Возьмите какие-нибудь неортогональные векторы, и определите оператор, для которого они будут собственными (с разными собственными значениями).

ну да, что то не подумал даже) видимо нет общей теоремы, так как это не такой важный случай

-- 14.12.2016, 19:40 --

и вот еще вопрос. в случае вещественного пространства в ортонормированном базисе ортогональная матрица служит представлением ортогонального оператора. однако я правильно понимаю, что диагональный вид такая матрица может принять лишь в случае когда это матрица отражения, но не поворота.

[Xaositect]

Archie_Sawicki в сообщении #1176937 писал(а):

извините, а почему для них нет какой то общей теоремы? или я так понимаю спектральная теорема важна именно ортогональностью собственных векторов, что позволяет разложить по ним оператор через сумму проекторов да?

Как же нет, есть же теория о жордановых формах.

[Archie_Sawicki]

Xaositect в сообщении #1176938 писал(а):

Archie_Sawicki в сообщении #1176937 писал(а):

извините, а почему для них нет какой то общей теоремы? или я так понимаю спектральная теорема важна именно ортогональностью собственных векторов, что позволяет разложить по ним оператор через сумму проекторов да?

Как же нет, есть же теория о жордановых формах.

ну это да. я имел ввиду вернее признак по которому матрица может быть приведена именно к диагональному виду, а не жордановой форме. к жордановой форме всякая матрица оператора приводима, а вот к диагональной нормальные операторы, и еще какие то, которые имеют базис только из собственных векторов(не корневых) но в отличии от нормальных они не ортогональны друг другу.

[Xaositect]

Archie_Sawicki в сообщении #1176937 писал(а):

и вот еще вопрос. в случае вещественного пространства в ортонормированном базисе ортогональная матрица служит представлением ортогонального оператора. однако я правильно понимаю, что диагональный вид такая матрица может принять лишь в случае когда это матрица отражения, но не поворота.

Да, если собственные значения комплексные, то действительной диагональной формы не получится.

[Archie_Sawicki]

хорошо, расскажу как я пришел вообще к таким мыслям. смотрите, матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе является эрмитовой. однако в любом другом не ортонормированном, эта же матрица задает другой оператор. мы имеем одинаковое характеристическое уравнение и одинаковые собственные значения обязательно вещественные при этом. значит имеем систему из собственных векторов с одинаковыми координатами в разных базисах. в ортонормированном базисе эти координаты будут ортогональными векторами, в не ортонормированном какими то другими. но при этом они ведь будут именно собственными, в силу того что характеристическое уравнение и его корни одинаковы.

-- 14.12.2016, 19:53 --

я правильно рассуждаю? получается имеем систему из собственных векторов (не корневых) и одинаковых собственных значений у всякого оператора который меняется не сменой вида матрицы, а сменой базиса.

-- 14.12.2016, 19:54 --

при этом существование таких векторов следует хотя бы из того, что уравнение будет иметь корни причем вещественные в любом случае, так как в одном из базисов эта матрица выражает самосопряженный оператор.