Двойной угол

[SomePupil]

Дан отрезок $AB=l.$ Найти геометрическое место точек $C$, таких, что в $\angle BAC =2\angle ABC.$

[wrest]

Похоже, гипербола.

[SomePupil]

Она самая.

[wrest]

У меня получилось (если $l=1$)
$x=\dfrac{2}{3-\tg^2\alpha}$
$y=\dfrac{2\tg\aplpha}{3-\tg^2\alpha}$
$\alpha$ - это меньший угол, меняется от 0 до 60 градусов.
Можно сделать замену переменных (тангенс на новую переменную, $t=\tg\alpha$ но с областью значений от 0 до $\sqrt{3}$), от этого вроде ничего поменяться не должно поскольку тангенс от 0 до 60 градусов монотонно возрастает, так что новая переменная $t$ пробежит те же значения что и тангенс.
Но похожесть на гиперболу
$\begin{cases}x=\dfrac{2}{3-t^2}\\y=\dfrac{2t}{3-t^2}\\0\leqslant t < \sqrt{3}\end{cases}$
в глаза не бросается.

Однако смекалка подсказывает, что что-то похожее на гиперболу будет всегда, если только углы не равны (т.е. всегда если второй угол растет прямо пропорционально первому с коэффициентом не равным единице).

[gris]

Я немного перепутал, когда увидел задачу. Подумал, что $\angle ACB =2\angle BAC.$ Даже рисуночек прикинул. Там получается типа воздушного шарика на боку. Впрочем, по теореме синусов для треугольника $ABC$ получается простое уравнение в полярных координатах c центром в точке $A$:
$r=l\sin 3a/\sin2a; -\pi/3\leqslant a \leqslant \pi/3$

А для Вашего случая уравнение будет
$r=l\sin 2a/\sin3a; -\pi/3\leqslant a \leqslant \pi/3$
Одна ветвь гиперболы. Только $\angle ABC =2\angle BAC.$ для удобства.

Очень интересная задачка. Мне нравятся случаи: $\angle ABC =\angle BAC$ — срединный перпендикуляр и $\angle ABC =\angle ACB$ — окружность. Предельные для гиперболы и шарика

[bot]

wrest в сообщении #1176630 писал(а):

в глаза не бросается

Кому как, а в мои бросилась - чуть глаз не выбила получается уравнение второго порядка и определитель квадратичной формы отрицателен.

[SomePupil]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1176710 писал(а):

Предельные для гиперболы и шарика

Вот и выявлена фундаментальная связь между коническими сечениями и шариком. Осталось ввести новый класс кривых $-$ шарабол и их пространственных аналогов $-$ шараболоидов. Ну и наконец, определить широчайший класс шараболических функций, которые по своей полезности превзойдут на несколько порядков своих эллиптических и фуксовых товарищей. И через несколько лет люди вовсю будут пользоваться творениями, которых Вы, уважаемый gris (следуя примеру Пуанкаре) назовете в честь какого-то левого друга $-$ шароморфными формами.

[gris]

(Оффтоп)

SomePupil, а в моей интерпретации геометрическое место точек это просто часть кубики. Вот если я надую щёки и воображу себя методистом, то Вашу задачу восхвалю ещё больше. Ибо стоит в ней слегка пошевелить условия, то она откроет путь к глубочайшим исследованиям. Ну, конечно, для школьников, так как всё уже давно исследовано и сослано в чулан. Я завидую нынешним школьникам, у которых есть матпакеты. Они (шкs) могут любоваться цветными визуализациями и даже анимациями, если только примутся теребить Вашу задачу. Заодно получат интересное и полезное времяпровождение.