Интеграл с точками ветвления

[JaneKZ]

В задаче переноса энергии от двумерного кристалла к молекуле возникают такие вот интегралы:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\sqrt{Q^2+k^2} (E-\sqrt{Q^2+k^2} ) } {(k-a)(k+a)}e^{ikg} dk ,где g,Q \geqslant 0$$

Разбив интеграл на сумму двух и подсчитав один из них в смысле главного значения по вычетам

$$-\int\limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{ ({Q^2+k^2} ) } {(k-a)(k+a)}e^{ikg} dk=\dfrac{\pi(a^2+Q^2)}{a}\sin(ga)$$

http://prntscr.com/djachg

Но в другом интеграле

$$E\cdot\int\limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\sqrt{Q^2+k^2}} {(k-a)(k+a)}e^{ikg} dk$$

Есть две точки ветвления k=-iQ и k=iQ(если не ошибаюсь).
Если я возьму контур вот так


Интеграл по такому замкнутому контуру равен нулю.И тогда остается оценить интегралы вокруг точки ветвления Q при $r\to0,$. И интеграл от особенностей при $r\to0 $.
И интеграл по большой полуоси радиуса R($R\to\infty $).

Правильно ли я выбрал обход контура. И как мне показать, что,некоторые из них равны нулю(если,вообще,равны) и найти ответ?

[Math_er]

JaneKZ Обычно используют лемму Жордана.

[DeBill]

JaneKZ
Страшный какой то у Вас интеграл...
1. Про первый: я не разобрал, как Вы справились с оценкой по верхней дуге: Лемма Жордана не работает. Видимо, следовало от дроби отнять единичку - тогда все выкладки делаются законными. А отделенное слагаемое - это преобразование Фурье от единички (оно равно $\delta (g)$). Т.о., первый сосчитан почти правильно (потерялась дельта-функция от $g$ - с минусом).
2. А тут - проблемы....
Предел интегралов по большой дуге равен нулю - как и написал Math_er.
По окружности - нулевой, это легко. Но: На левой полуоси функция - после обхода точки ветвления - поменяла знак, так что сумма интегралов по горизонтальным отрезкам-лучам не даст в пределе Ваш интеграл... И: по вертикальным отрезкам - интегралы не сократятся. Зато, видимо, сократятся - по малым полуокружностям.
Если же делать вертикальный разрез - выше точки ветвления: мы просто сведем Ваш интеграл к интегралу $\int\limits_{Q}^{\infty}\frac{\sqrt{t^2 -Q^2}}{t^2 +a^2}\cdot e^{-gt} dt$, что, фактически, есть преобразование Лапласа. Но, как то, не шибко лучше..