Обратная функция и второй закон Ньютона.

[knyshus]

Вводится понятие невырожденной функции как расширение понятия обратной
функции. Это позволяет получить второй закон Ньютона третьего порядка.


1. Функция вырождена, если она не обратима на любом субинтервале
интервала ее определения. Примером вырожденной функции является константа.

Пусть функция не является вырожденной. Тогда существует хотя бы один
субинтервал, где она обратима. После выбрасывания всех таких
субинтервалов обратимости останется множество.

Если это множество не содержит субинтервалов, то функцию называем невырожденной.
Пример sinx.

Если это множество содержит субинтервалы, то функцию называем
полувырожденной.

Поскольку полувырожденная (невырожденная ее частный случай) функция является отрицанием вырожденной,
то любая функция попадает в один из упомянутых классов.

Таким образом, у невырожденной функции интервал ее определения распадается на сумму субинтервалов,
на каждом из которых она строго монотонна.


2. Пусть $x(t)$ невырожденная функция с соответствующими производными. Тогда

$$ \dot{x}\equiv 1/t'_1(x)^{def}=v(x). $$

$$ \ddot{x}=v'(x)\dot{x}=v'(x)v(x)=(v^2(x)/2)'_x=(v^2/2)_x', $$

где

$$ v^2=v^2(x)+v^2(y)+v^2(z). $$

Тогда имеет место тождество

$$ \ddot{x}\vec{i}+ \ddot{y}\vec{j}+ \ddot{z}\vec{k} \equiv(\frac{v^2}{2})_x\vec{i}+ (\frac{v^2}{2})_y\vec{j}+ (\frac{v^2}{2})_z\vec{k}. $$

Если существует соответствующая функция $F$, то имеем второй закон Ньютона

$$ \ddot{x}\vec{i}+ \ddot{y}\vec{j}+ \ddot{z}\vec{k}=F_x\vec{i}+ F_y\vec{j}+ F_z\vec{k}. $$

При этом $\frac{v^2}{2}=F+\operatorname{const}$.

Таким же образом

$$ \dddot{x}\vec{i}+ \dddot{y}\vec{j}+ \dddot{z}\vec{k}\equiv (\frac{v^2}{2})_{xx}\dot{x}\vec{i}+ (\frac{v^2}{2})_{yy}\dot{y}\vec{j}+ (\frac{v^2}{2})_{zz}\dot{z}\vec{k}. $$

Если существует соответствующая функция $F$, то второй закон Ньютона
третьего порядка запишется так

$$ \dddot{x}\vec{i}+ \dddot{y}\vec{j}+ \dddot{z}\vec{k}=F_{xx}\dot{x}\vec{i}+ F_{yy}\dot{y}\vec{j}+F_{zz}\dot{z}\vec{k}. $$

При этом,

$$ \frac{v^2}{2}=F+a+bx+cy+dz+exy+hxz+kyz+lxyz \eqno(2) $$

другой вид закона сохранения энергии.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Междисциплинарный раздел» в форум «Пургаторий (Мд)»
Причина переноса: по-видимому, это сюда (хотя особой междисциплинарности не видно).