Простое решение задачи - планиметрия

[timtam]

Ребенок принес из школы задачу.
Я ее решил, но нужно проще.
Проще пока не получается.

Итак задача:



Известны $AD$ и $BC$
Угол при $C$ и углы при $E$ прямые.
Требуется определить $\beta$
(Правда сперва требуется узнать $BD$ и $ABC$,
но ведь если определен угол $\beta$ остальное находится элементарно)

Как я решал:

Треугольник $AED$ подобен треугольнику $ACB$
Тогда можно записать равенство $\frac{AE}{AC}=\frac{ED}{CB}$
Далее определим входящие в равенство величины через известные (заданные)
$AC=\frac{AD}{\sin\beta}$
$AE=AD\sin\beta$
$ED=AD\cos\beta$
Подставим эти выражения в равенство.
Получим
$\sin^2\beta=\frac{AD\cos\beta}{CB}$

Пусть $\frac{AD}{CB}=a$

Тогда окончательно равенство можно переписать в виде

$\cos^2\beta+a\cos\beta-1=0$

Дальше все просто.
Решаем квадратное уравнение относительно $\cos\beta$
Т.о. узнаем чему равен угол $\beta$

Остальные вопросы ($BD$ и $ABC$)
уже тривиально.


Слишком сложно. Некоторых формул сыну в школе еще не давали.
Как можно решить проще?
В каком направлении начинать рассуждения?

Спасибо.

[gris]

Непонятно, зачем проведен отрезок $DE$. Школьникам известна теорема, что произведение отрезков, на которые делится гипотенуза высотой (если $CD$ высота), равно квадрату высоты. Легко получить из подобия. А дальше, почти как у Вас. От квадратного уравнения никуда не уйти. Можно только принять за неизвестную отношение двух отрезков, то есть скрытый косинус. Использовать теорему Пифагора.

[Pphantom]

timtam в сообщении #1176435 писал(а):

Известны $AD$ и $BC$
Угол при $C$ и углы при $E$ прямые.
Требуется определить $\beta$

Кажется, этих данных недостаточно. Вы ничего не забыли?

timtam в сообщении #1176435 писал(а):

Далее определим входящие в равенство величины через известные (заданные)
$AC=\frac{AD}{\sin\beta}$

По-видимому, забыто условие, из которого следует, что $CD$ - высота. Тут Вы им фактически пользуетесь.

timtam в сообщении #1176435 писал(а):

Требуется определить $\beta$
(Правда сперва требуется узнать $BD$ и $ABC$,

А в каком смысле надо сначала искать $\beta$, а потом $ABC$?

[timtam]

Pphantom в сообщении #1176441 писал(а):

timtam в сообщении #1176435 писал(а):

Известны $AD$ и $BC$
Угол при $C$ и углы при $E$ прямые.
Требуется определить $\beta$

Кажется, этих данных недостаточно. Вы ничего не забыли?

Да, грешен. Забыл указать, что угол $CDB$ прямой.

И, отвечая на вопрос gris - $DE$ видимо уже задан, чтобы школьнику проще было увидеть подобные треугольники.
В моем решении, если бы его не было, нужно было бы его достроить.

И все равно не могу поверить, что решение именно такое, как у меня.
Задача расценивается как средняя (количество баллов за правильное решение далеко не максимальное)

[Pphantom]

timtam в сообщении #1176578 писал(а):

Да, грешен. Забыл указать, что угол $CDB$ прямой.

Тогда все прямоугольные треугольники, которые имеются (в том числе и составные), подобны. А тогда можно сказать, что

$$ \frac{DB}{BC}=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{AD+DB}.$$

Отсюда вычисляется $DB$, после чего $\cos \beta = DB/BC$. Все, причем $DE$ действительно совершенно ни к чему.

[gris]

Если $CD$ высота, то и не надо никокого $DE$. Обозначим $DB=x;CB=a;AD=d;CD=h$.
По теореме Пифагора $h^2=b^2-x^2$
Из подобия $\triangle ACD\sim\triangle CBD$ получим $d:h=h:x$ или $h^2=dx$
То есть $dx=b^2-x^2$.
Квадратное уравнение. Один корень отрицательный. Находим $DB=x$, а потом косинус нужного угла и всё остальное.
Да чтож такое Но я рад, что в чём-то изоморфен предыдущему оратору!

[timtam]

Pphantom в сообщении #1176597 писал(а):

timtam в сообщении #1176578 писал(а):

Да, грешен. Забыл указать, что угол $CDB$ прямой.

Тогда все прямоугольные треугольники, которые имеются (в том числе и составные), подобны. А тогда можно сказать, что

$$ \frac{DB}{BC}=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{AD+DB}.$$

Отсюда вычисляется $DB$, после чего $\cos \beta = DB/BC$. Все, причем $DE$ действительно совершенно ни к чему.

Да. Спасибо огромное.
Действительно $DE$ только в заблуждение вводит (подобие треугольников $AED$ и $ACB$ настолько очевидно, что сразу же хочется начать рассуждения с этого пункта )