Прецессия петли с током

[StaticZero]

Пусть есть виток с током, расположенный в плоскости. Эту плоскость обозначим $Oxy$. Направим ось $z$ вдоль его магнитного момента $\mathbf H$, а внешнее однородное магнитное поле $\mathbf H$ направим вдоль одной из осей, пусть это ось $y$. Тогда имеем

$$ \mathbf H = H \mathbf i, \qquad \mathbf \mathbf m = m \mathbf z.$$

Пусть по петле течёт постоянный ток $I$. Тогда найдём момент сил, который действует на виток:

$$ \dfrac{\mathrm d\mathbf L}{\mathrm dt} = \mu_0 I \oint \big[\mathbf r \times [\mathrm d\mathbf l \times \mathbf H]\big] = \mu_0 I \oint \mathrm d \mathbf l (\mathbf r \cdot \mathbf H) - \mathbf H (\mathbf r \cdot \mathrm d \mathbf l). $$

По теореме Стокса, второе слагаемое можно убрать:

$$ \oint \mathbf H (\mathbf r \cdot \mathrm d \mathbf l) = \mathbf H \iint \operatorname{rot} \mathbf r \ \mathrm dS = \mathbf 0.$$

А со вторым слагаемым у меня трудности. Скалярное произведение $(\mathbf r \cdot \mathbf H)$ равно $x H$. Но я вот не могу привести интеграл к надлежащему виду...

$$ \oint \mathrm d \mathbf l (\mathbf r \cdot \mathbf H) = H \oint x \ \mathrm d \mathbf l = ???$$

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1176150 писал(а):

Скалярное произведение $(\mathbf r \cdot \mathbf H)$ равно $x H$.

Наверно, все-таки $yH$.
Дальше удобно через угол. Пусть $\mathbf r$ - от центра кольца, угол $\theta$ - от направления магнитного поля.
Тогда $(\mathbf r\cdot\mathbf B)=rB\cos\theta,\; d\mathbf l=(r\cos\theta\, d\theta, -r\sin\theta\, d\theta)$, и $x$-компонента момента силы

$$M_x=BIr^2\int\limits_0^{2\pi}\cos^2\theta\, d\theta=B\pi r^2I,\;\mbox{то есть}\;\mathbf M=[\mathbf m\times\mathbf B].$$

Здесь $m=I\pi r^2$ - магнитный момент кольца.

[StaticZero]

DimaM в сообщении #1176156 писал(а):

Наверно, все-таки $yH$.

Ой, да. В бумажке $x$, а тут решил ось поменять.

Спасибо, этот результат я и хотел получить. А получили вы

[StaticZero]

Нет, стоп. Тут же кольцо. А исходная форма проводника произвольная...

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1176169 писал(а):

Тут же кольцо. А исходная форма проводника произвольная...

Тогда $x$-компонента момента силы получается

$$M_x=IB\oint ydx=IBS.$$

Интеграл, насколько я понимаю, дает просто площадь витка.

[Munin]

Как что-то интересное, так всё уже кончилось...

[DimaM]

Munin в сообщении #1176213 писал(а):

Как что-то интересное, так всё уже кончилось...

(Оффтоп)

Хорошо жить на востоке .

[StaticZero]

DimaM в сообщении #1176182 писал(а):

Интеграл, насколько я понимаю, дает просто площадь витка.

Вот это я хочу показать в общем случае. Но не получается.
Вот для эллипса я могу найти $y = b \sin t$, $\mathrm d \mathbf l = (-\mathbf i a \sin t+ \mathbf j b \cos t) \ \mathrm dt$,

$$ \oint y \ \mathrm d \mathbf l = \int \limits_0^{2 \pi} \mathbf j b^2 \cos t \sin t - \mathbf i a b \sin^2 t \ \mathrm dt = -\mathbf i \pi a b = -\mathbf i S. $$

Момент сил ортогонален и полю, и магнитному моменту витка с током. Окончательно $\mathbf M = -\mu_0 I S H \mathbf i = -I B S \mathbf i = -m B \mathbf i = [\mathbf m \times \mathbf B]$.

[Munin]

Давайте вы запишете в общем виде кривую как $y=y_1(x),\quad y=y_2(x)$ (достаточно рассмотреть кривые, проходящие над каждой точкой $x$ всего два раза - этого достаточно для "физической" строгости"), и $d\mathbf{l}=\mathbf{i}\,dx+\mathbf{j}\,dy,$ и у вас быстро получится то же, что и у DimaM.

[StaticZero]

Есть вариант такой: $x = \varphi(t), y = \psi(t)$,

$$ \begin{align*} \mathrm d \mathbf l &= \mathbf i \ \mathrm d \varphi + \mathbf j \ \mathrm d \psi, \\ \oint y \ \mathrm d \mathbf l &= \mathbf i \oint \psi \mathrm d\varphi + \mathbf j \oint \psi \mathrm d\psi, \end{align*} $$

только я пределы не могу расставить.

[Munin]

От $t=t_1$ до $t=t_2,$ причём граничные условия $\varphi(t_1)=\varphi(t_2),\quad \psi(t_1)=\psi(t_2).$

[StaticZero]

$$ \oint \psi\ \mathrm d \psi = \left.\dfrac{\psi^2}{2} \right| \limits_{t_1}^{t_2} = \dfrac{\psi^2(t_2) - \psi^2(t_1)}{2} = 0. $$

$$ \oint \psi \ \mathrm d \varphi = \left. \psi \varphi \right|\limits_{t_1}^{t_2} - \oint \varphi \ \mathrm d \psi = - \oint \varphi \ \mathrm d \psi.$$

Очень напоминает площадь, которая $\displaystyle \oint \dfrac{x \ \mathrm dy - y \ \mathrm dx}{2}$. По-моему, это она и есть.

[Munin]

Она. И даже проще, чем по вашей формуле. Вспомните, что такое "площадь под графиком", и вуаля.

[StaticZero]

Угу. То есть можно $\mathrm d\varphi$ и $\mathrm d\psi$ просто заменить на $\mathrm dx$ и $\mathrm dy$. Мне почему-то показалось, что так делать нельзя.

Спасибо, разобрался!