Предел синуса натурального аргумента

[Brukvalub]

Cakes, а откуда дровишки задача?

[Cakes]

Brukvalub
Я на первом курсе учусь, нам такой предел задали среди прочих. Там есть ещё интересный один, но с тем я почти разобрался.

[Brukvalub]

Cakes, тогда, возможно, ожидался ответ "конечного предела нет". На мой взгляд, ответить на вопрос, является ли эта последовательность бесконечно большой - весьма нетривиальная задача.

[Cakes]

Не думаю, задача была помечена как сложная, и времени на неё отводится довольно много. Мне кажется, это предполагает основательное решение.

[Shadow]

Для подходящих дробей иррациональных чисел известно, что погрешность не превосходит квадрат знаменателя. Для числа $\pi$

$\pi -\dfrac{1}{m^2}<\dfrac n m <\pi+\dfrac{1}{m^2}$

[Someone]

Shadow в сообщении #1176061 писал(а):

Для числа $\pi$

$\pi -\dfrac{1}{m^2}<\dfrac n m <\pi+\dfrac{1}{m^2}$

Что бы это могло значить?

[Shadow]

Someone в сообщении #1176093 писал(а):

Что бы это могло значить?

Это могло бы значитть, что существуют аж ужасно много таких натуральных $m,n$, для которых выполняется данное двойное неравенство и что для таких $n,\;\ n|\sin{n}| <\pi +\dfrac 1 m$

[Someone]

Shadow в сообщении #1176061 писал(а):

Для числа $\pi$

$\pi -\dfrac{1}{m^2}<\dfrac n m <\pi+\dfrac{1}{m^2}$

Shadow в сообщении #1176106 писал(а):

Это могло бы значитть, что существуют аж ужасно много таких натуральных $m,n$, для которых выполняется данное двойное неравенство

А выглядит так, будто это выполняется для любых натуральных $m,n$.

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1175925 писал(а):

На мой взгляд, ответить на вопрос, является ли эта последовательность бесконечно большой - весьма нетривиальная задача.

Если мне не изменяет память, то это на данный момент вообще открытый вопрос.

[RIP]

g______d в сообщении #1176122 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1175925 писал(а):

На мой взгляд, ответить на вопрос, является ли эта последовательность бесконечно большой - весьма нетривиальная задача.

Если мне не изменяет память, то это на данный момент вообще открытый вопрос.

Нет, как уже написал Shadow, отрицательный ответ на этот вопрос легко следует из теоремы Дирихле. Открытый вопрос — это является ли $0$ частичным пределом этой последовательности.

[Cakes]

Если я докажу, что можно выделить подпоследовательности, сходящиеся к разным числам, будел ли это означать, что предела нет?

[Brukvalub]

Если вы не можете самостоятельно ответить на свой последний вопрос, то вам не стОит волноваться - вы все равно ничего не докажете.