Необычный вопрос об удивительных четвёрках простых чисел

[Ktina]

Назовём четвёрку попарно различных простых чисел удивительной, если сумма любых трёх из них - простое число.
Например, четвёрка

$$(5, 7, 17, 19)$$

является удивительной, так как числа 29, 31, 41 и 43 - простые.
Однако сама четвёрка

$$(29, 31, 41, 43)$$

уже не является удивительной, поскольку

$$31+41+43=115 ,\quad 115\notin\mathbb{P}$$

Вопрос таков: существует ли такая удивительная четвёрка, у которой все четыре трёхэлементные суммы также образуют удивительную четвёрку?

P. S.
Можно даже назвать такую четвёрку удивительной четвёркой второго порядка, и если таковая отыщется, стоит поискать удивительные четвёрки более высоких порядков.

[gris]

Первое наблюдение: по модулю шесть четвёрка должна иметь вид $(1,1,5,5)$ (с точностью до перестановки). Пользуясь этим можно зафиксировать первую попавшуюся Вашу четвёрку $(7,19,17,5)$ и попробовать поувеличивать последнее число на $6$.
Поспешил с устным счётом

[Ktina]

gris
$(7,19,17,23)\to (43,83,71,97)$
Каким образом Вы пришли от левой четвёрки к правой?

[gris]

Вот: $(7,13,131,839)\to(151,859,977,983)\to(1987,1993,2111,2819)$
Дальше идёт $(6091,6923, 6917,6799)$ но я не знаю, как проверить, просты ли они Вообще, анализ последней цифры тоже помогает. Но вот с теорией беда.

[venco]

По-моему, проще с конца искать, т.к. там простые реже.
Ищем четвёрку простых чисел с суммой, кратной 9-ти. Вычитаем $2Sum\over9$, и смотрим, получились ли простые.
Подбором нашёл: $\{7,11,13,17\} \to \{103,107,109,113\}$.

[Ktina]

gris
Большое спасибо!

(Оффтоп)

А теперь бы ещё и коленом

А теперь бы ещё и более высоких порядков...

-- 17.10.2016, 16:48 --

venco

$$103+107+109=319=29\cdot 11\quad\to\quad 319\notin\mathbb{P}$$

[venco]

А, я понял, вам все суммы нужны простые, я только через одну посмотрел.

[gris]

Для таких увлекательных игр нужно иметь соответствующие пакеты. Ну или хотя бы базу простяшек с возможностью программировать там. А вручную смотреть в таблицу и автоматизировать только получение следующей тройки тоскливо. Можно, конечно, накарябать и в эксельке, но увлечёшься этими магическими числами и на ВТФ потянет.
Впрочем, меня поразило, что при небольших ограничениях в тройках почти три четверти простых. Кстати, интересные инварианты: основной по модулю $6$: $(1,1,5,5)$.
И по последней цифре: $(\{1,3,7,9\}),(\{1,1,9,9\}),(\{3,3,7,7\})$. Другие дают пятёрку рано или поздно. То есть можно теоретизировать. Но те, кто работает плотно с простыми, мудро улыбаются.
Кстати, если числа попарно не различны, то можно привести милый пример двойного удивления:$(7,7,3,3)\to(17,17,13,13)\to(47,47,43,43)$

[dimkadimon]

Удивительно, но я изучал именно эту задачу тут: http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_831.htm

Самый мой лучший результат дает 6 порядков (тут все числа простые):

1. 1091 3001 271 257
2. 4349 4363 3529 1619
3. 10331 12241 9511 9497
4. 32069 32083 31249 29339
5. 93491 95401 92671 92657
6. 281549 281563 280729 278819

[Ktina]

dimkadimon
Большое спасибо!
И за интересную ссылку - тоже.