Вопрос про единицу

[student1138]

Здравствуйте.

Есть произвольное кольцо. Мы обнаружили что $ax = a$ для какого-то элемента $a$. Cледует ли из этого что $x$ - правая единица кольца?

[Karan]

Нет. Рассмотрите $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ и элементы только из одной половины.

[student1138]

Я вот почему спросил.
В учебнике утверждается что если элементы кольца $a$ и $b$ являются асоциированными то $b = ua$, где $u|1$.
Если кольцо у нас с единицей то это можно доказать например так: пусть $a = bc$ и $b = ad$. Тогда $ a=bc=adc \Rightarrow a(1 - dc) = 0 \Rightarrow dc = 1$ Таким образом элементы $d$ и $c$ обратимы.

Однако, если я не ошибаюсь, это доказательство действительно только для кольца с единицей. Но в учебнике рассматривают произвольное кольцо. Вот я и думаю - все-таки подразумевают кольцо с единицей или я что-то не понимаю? Кстати еще маленький нюанс - по доказательству выходит что $b = au$ а не $b = ua$. Но не сказано что кольцо коммутативное. Эта деталь важна вообще?

[Xaositect]

Ну раз в условии утверждения фигурирует единица ($u \mid 1$), то подразумевается кольцо с единицей.
Ассоциированные элементы вроде только для коммутативных колец определяют, иначе надо разбираться с правой и левой делимостью и т.п.

На всякий случай скажите, какой учебник?

[student1138]

Xaositect в сообщении #1174592 писал(а):

иначе надо разбираться с правой и левой делимостью и т.п.

Именно! Поэтому я начал заморачиваться насчет левых правых единиц и уже всю голову поломал. А оказывается вон оно как.

Учебник Кострикина, страница 190. Там с такой фразы начинается эта часть "Начнем с произвольного целостного кольца K". Вот я стал думать про совсем произвольное кольцо.
Кстати в учебник Ван Дер Вардена тоже заглядывал по этому поводу но вот только сейчас заметил что он-то прямо пишет "...будем рассматривать лишь целостные кольца с единицей" (стр. 75).

А насчет коммутативности кстати ни у Кострикина ни у Ван Дер Вардена ничего не сказано. Так что это вопрос. Но у Ван Дер Вардена кстати множитель $u$ записан с другой стороны так что у него как-раз все сходится.

[Xaositect]

У Кострикина целостное кольцо определяется только с единицей (в пункте 3.4.4)

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. стр. 158 писал(а):

[...] Коммутативное кольцо с единицей $1\neq 0$ и без делителей нуля называют целостным кольцом (кольцом целостности или областью целостности).

[student1138]

Xaositect в сообщении #1174602 писал(а):

У Кострикина целостное кольцо определяется только с единицей (в пункте 3.4.4)

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. стр. 158 писал(а):

[...] Коммутативное кольцо с единицей $1\neq 0$ и без делителей нуля называют целостным кольцом (кольцом целостности или областью целостности).

Спасибо. Протупил я.

[student1138]

А рассмотрим не коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей.
Допустим для каких-то элементов $a$, $b$ выполняется $ab = 1$ (т.е. $b$ - правый обратный для $a$). Влечет ли это то, что $ba = 1$? Если у $a$ был левый обратный элемент то, как я понимаю, влекло бы. Но вот мы не знаем есть он или нет. И может ли в так быть что его нет?

[AV_77]

Пусть $V$ - счетномерное векторное пространство, $\{ e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots \}$ - его базис. Рассмотрим кольцо $K$ всех линейных отображений $V \to V$.
Пусть $a$ - отображение, заданное на базисных векторах правилом $a(e_1) = 0$ и $a(e_i) = e_{i-1}$ для $i > 1$. Отображение $b$ зададим правилом $b(e_i) = e_{i+1}$. Тогда $ab = 1$, но у $a$ нет левого обратного.