Окрестность нуля в звёздочно-слабой топологии

[Hasek]

Утверждение: если $X$ бесконечномерное банахово пространство, то любая окрестность нуля в звёздочно-слабой топологии содержит бесконечномерное линейное подпространство.

Вот доказательство аналогичного утверждения для слабой топологии на $X$ из книги Рудина "Функциональный анализ":


Мне не совсем понятно, как адаптировать его для звёздочно-слабой топологии на $X^*$.

Нуль в $X^*$ -- это просто тождественно нулевой функционал $\lambda \equiv 0$, его окрестность состоит из функционалов с маленькими нормами. Предлагается выделить в ней какое-то подмножество $N$. Насколько я понимаю по аналогии, это будут все функционалы, зануляющиеся на каком-то конечном числе точек: $N = \{ \lambda\colon \lambda(x_1) = \ldots = \lambda(x_n) = 0\}$. Но почему если функционал $\lambda$ обращается в нуль на каком-то наборе $n$ точек, то у него обязательно маленькая норма (т.е. он лежит в окрестности нуля)? Затем из отображения $\varphi\colon X^* \to \mathbb{C}^n$ ($\lambda \mapsto (\lambda(x_1),\ldots,\lambda(x_n))$) заключить, что $\mbox{dim}X^* \leq \mbox{dim}\mathbb{C}^n + \mbox{dim \operatorname{Ker}} \varphi = n + \mbox{dim} N$. Но из каких соображений получается последнее неравенство на размерности?

[DeBill]

Hasek в сообщении #1174115 писал(а):

его окрестность состоит из функционалов с маленькими нормами.

Верно. Однако Вам то надо сейчас рассматривать окрестность нулевого функционала в $\ast$-слабой топологии, а это - совсем другое дело...
А неравенство на размерности в тексте Вам понятно?

[Hasek]

DeBill в сообщении #1174168 писал(а):

Верно. Однако Вам то надо сейчас рассматривать окрестность нулевого функционала в $\ast$-слабой топологии, а это - совсем другое дело...

Насколько я понимаю, в $\ast$-слабой топологии некоторая окрестность $V$ нуля выглядит как $V = \{ \lambda\colon |\lambda(x)| < \varepsilon ~\forall x \in X \}$.

DeBill в сообщении #1174168 писал(а):

А неравенство на размерности в тексте Вам понятно?

К сожалению, нет. Могли бы Вы пояснить, почему оно такое?

[DeBill]

Hasek в сообщении #1174228 писал(а):

в $\ast$-слабой топологии некоторая окрестность $V$ нуля выглядит как $V = \{ \lambda\colon |\lambda(x)| < \varepsilon ~\forall x \in X \}$.

Не совсем так: для некоторой конечной системы $\{x_i\}$, и некоторых $\varepsilon _i >0$, $V = \{ \lambda\colon |\lambda(x_i)| < \varepsilon_i \}$
(Ну, у Вас же есть текст. дЛЯ $\ast$-слабой топологии все абсолютно делается аналогично - надо только вместо произвольных функционалов на сопряженном пространстве использовать функционалы специального вида $\Lambda_x(\lambda) = \lambda (x)$ ).

Про неравенство: это известный факт из линейки: при линейных отображениях, размерность пространства равна размерности ядра плюс размерность образа.

-- 05.12.2016, 03:48 --

И: "некоторая окрестность" - нехорошо. Правильно: "любая окрестность из базиса топологии" (а поскольку ЛЮБАЯ окрестность есть объединение базисных, то в ЛЮБОЙ есть $V$ такого вида)

[Hasek]

Разобрался. Спасибо!