Вопрос про телесный угол

[tohaf]

В Теореме Гаусса используется понятие телесного угла. Телесный угол вырезает некоторую площадь, под которой виден некоторый элемент поверхности.
Верно ли я понимаю, что эти площади неравны, и элемент, что мы видим сквозь площадь телесного угла на самом деле несколько больше?
Т.е. телесный угол как бы бросает тень на сферу, но реальная площадь этого элементы сферы больше (он же не плоский, этот элемент-то) ?
И, если верно, то если телесный угол будет стремиться к нулю, то площадь его "тени" будет стремиться к реально площади поверхности или нет?

[DimaM]

tohaf в сообщении #1173539 писал(а):

Верно ли я понимаю, что эти площади неравны, и элемент, что мы видим сквозь площадь телесного угла на самом деле несколько больше?
Т.е. телесный угол как бы бросает тень на сферу, но реальная площадь этого элементы сферы больше (он же не плоский, этот элемент-то) ?

По всякому бывает. Зависит от формы поверхности. Например, если смотреть на кусок плоскости почти по касательной, большая площадь будет видна в малом телесном угле.

tohaf в сообщении #1173539 писал(а):

И, если верно, то если телесный угол будет стремиться к нулю, то площадь его "тени" будет стремиться к реально площади поверхности или нет?

Так будет только в том случае, если нормаль к поверхности параллельна радиус-вектору, проведенному из точки наблюдения.

Представьте себе конус в пространстве и вашу поверхность. Часть поверхности, попавшая внутрь конуса, видна под одним и тем же телесным углом. А площадь этой части будет зависеть от ориентации ее относительно конуса.

[wrest]

По простому:
Плоский угол это часть плоскости, заключенная между двумя полупрямыми, исходящими из одной точки (вершины угла).
Телесный угол это часть пространства, заключенная внутри конической поверхности, вершиной которой является некоторая точка (вершина угла).

tohaf в сообщении #1173539 писал(а):

если телесный угол будет стремиться к нулю, то площадь его "тени" будет стремиться

... тоже к нулю.

[DimaM]

wrest в сообщении #1173546 писал(а):

По простому:
Плоский угол это часть плоскости, заключенная между двумя полупрямыми, исходящими из одной точки (вершины угла).
Телесный угол это часть пространства, заключенная внутри конической поверхности, вершиной которой является некоторая точка (вершина угла).

В задачах обычно "угол" обозначает угловую меру, а не фигуру.
Не нужно запутывать ТС.

[wrest]

(Оффтоп)

DimaM в сообщении #1173548 писал(а):

В задачах обычно "угол" обозначает угловую меру, а не фигуру.
Не нужно запутывать ТС.

Посмотрите, что пишет ТС: "Телесный угол вырезает", "телесный угол как бы бросает тень". Вы думаете, что к задаче ТС подходит то, что угловая мера "вырезает" и "как бы бросает тень"?

[Pphantom]

Может быть, проще будет воспользоваться таким определением величины телесного угла: это площадь (поверхности сферы), вырезаемая телесным углом из сферы единичного радиуса с центром, расположенным в вершине угла.

[Munin]

DimaM в сообщении #1173548 писал(а):

В задачах обычно "угол" обозначает угловую меру, а не фигуру.

В задачах обычно "угол" обозначает и то и другое, в некоторой мешанине, которую надо понимать правильно.

Например, когда говорят про угол, стремящийся к нулю, подразумевают (в большинстве случаев) не только то, что угловая мера рассматриваемой фигуры стремится к нулю, но и что сама фигура ведёт себя неким "естественным" образом. (Скучно говоря, угловой диаметр этой фигуры стремится к нулю в порядке $\sim\sqrt{\Omega}.$) Такие вещи физику "очевидны", а математику сильно не хватает всяких многословных оговорок.

[wide]

tohaf в сообщении #1173539 писал(а):

В Теореме Гаусса используется понятие телесного угла. Телесный угол вырезает некоторую площадь, под которой виден некоторый элемент поверхности. ...

Обратите внимание на теорему, в ней говорится про некий поток. Вот и пользуйтесь гидродинамической аналогией. Т.е. не старайтесь увидеть площадь в телесном угле, а представьте, что через эту площадь течет поток "жидкости". Теперь необходимо вспомнить, что поток через площадь равен произведению нормальной составляющей потока на площадь.
Например так:

т.е. площадь, из которой выходит поток, за счет большего наклона больше, но в то же самое время и нормальная составляющая потока меньше. Из таких маленьких площадок можете составить поверхность произвольной формы.

Если телесным углом вырезать кусок поверхности сферы, то эл. поле будет во всех точках перпендикулярно такой поверхности, и поток находим как произведение сферической площади на значение эл. поля на этой поверхности (естественно во всех точках такой сферической поверхности значение поля будет одинаковым).

Но если телесным углом вырезать кусок поверхности куба с тем же радиусом, как и для сферической поверхности, то уже значение нормальной составляющей поля на такой плоской поверхности в разных точках будет разным, в среднем значение поля будет больше, т.к. такая поверхность находится ближе к точечному заряду, но и сама площадь будет меньше (это "тень" от предыдущей сферической поверхности, и потоки через эти поверхности будут равны). Поэтому аналогия с тенью есть, но надо учитывать "что на что умножать".