Аддитивная комбинаторика на поле над корнями третьей степени

[fractalon]

Сначала постановка задачи, потом маленькое пояснение.
Для $A,B \subset {\mathbb N}$ определим
$A+B = \left\lbrace{a+b : a \in A, b \in B}\right\rbrace$
$T(A,B,C) = \left\lbrace{a + b e^{2 \pi i \frac{1}{3}} + c e^{2 \pi i \frac{2}{3}} : a \in A, b \in B, c \in C}\right\rbrace$
Задача (вернее, гипотеза, не знаю, доказуемая ли). Доказать существование такой универсально константы $\gamma$, что при $|A+A| \le C |A|$ будет выполнено $|T(A,A,A)| \le C^{\gamma} |A|^2$

Собственно, задача придумана мной после прочтения этой лекции, а именно вдохновлена теоремой о том, что при $|A+A| \le C |A|$ выполнено $|kA-lA| \le C^{O(k)+O(l)} |A|$ (в смысле $kA=A+\dots+A$, где слагаемых $k$ штук).
Там эта теорема доказывается через красивую лемму $|U ||V-W| \le |V-U| |U-W|$ (эта лемма верна для всяких множеств $U,V,W$ в произвольной группе без ограничений). Для доказательства искомого утверждения из $|A+A| \le C |A|$, конечно, привлекается чуть более сложная конструкция, но из $|A+A+A| \le C |A|$ всё выводится через лемму практически прямым применением.
Я попробовал обобщить тривиально лемму и получил $|U||T(A,B,C)| \le |T(U,B,C)| |T(A,U,C)| |T(A,B,U)|$. К сожалению, прилепить в левую часть ещё какой-нибудь множитель $|W|$ не получается - доказательство из лекции не обобщается, потому что невозможно однозначно восстановить $u \in U$ и $w \in W$. А имеющегося обобщения леммы, кажется, недостаточно, что ни подставляй.

В общем, предлагаю подумать, кого заинтересует. Повторюсь, верно ли вообще искомое следствие, не знаю. Может быть, имеет смысл поискать какие-то общие контрпримеры.

[fractalon]

Маленькое уточнение - ещё один множитель в лемму действительно нельзя добавить если речь идёт о множествах $U,A,B,C$, элементы которых лежат на треугольной решётке (то есть имеют вид $a_0 + a_1 e^{2 \pi i \frac{1}{3}} + a_2 e^{2 \pi i \frac{2}{3}}, a_i \in {\mathbb Z}$).
Если же предположить, что $W,U,A,B,C \subset {\mathbb Z}$, то вполне можно утверждать, что $|W| |U| |T(A,B,C)| \le |T(A,W,V)| |T(V,B,W)| |T(W,V,C)|$.