Производная arcsin

[Joe Black]

Вывожу производную арксинуса из определения. Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в точке (0;0). Проведём радиус OM так, что OM образует угол $\alpha$ с осью Ох. Проведём перпендикуляр МА к оси Ох. Получили прямоугольный треугольник ОМА. Пусть $MA=x$. Тогда:

$$x=\sin \alpha , \arcsin x = \alpha , \Delta x = \Delta \sin \alpha = \Delta \alpha \cos \alpha = \Delta \alpha \sqrt{1-x^2}$$

$$(\arcsin x)' =\displastyle{ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\arcsin(x+\Delta x) - \arcsin(x)}{\Delta x}} = \displastyle{ \lim_{\Delta \alpha \to 0} \dfrac{\alpha + \Delta \alpha - \alpha}{\Delta \alpha \sqrt{1-x^2} }} = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$

Верно?

[Brukvalub]

Joe Black в сообщении #1173489 писал(а):

Тогда: $... \Delta \sin \alpha = \Delta \alpha \cos \alpha..$

Из какой геометрии это следует?

[Joe Black]

Наверное здесь нужно было вместо дельта использовать дифференциал

[Joe Black]

Если делать по-честном, то:

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\arcsin (x+\Delta x) - \arcsin x}{\Delta x} =\lim_{\Delta \alpha \to 0} \dfrac{\arcsin (\sin \alpha+\sin (\alpha + \Delta \alpha) - \sin \alpha) - \arcsin (\sin \alpha)}{\sin (\alpha + \Delta \alpha) - \sin \alpha} = $$

$$= \lim_{\Delta \alpha \to 0} \dfrac{\alpha + \Delta \alpha - \alpha}{2\sin \dfrac{\Delta \alpha}{2}\cos \left( \alpha + \dfrac{\Delta \alpha}{2} \right)} = \dfrac{1}{\cos \alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$