Плоские и свободные модули над коммутативными кольцами

[Hasek]

Цель: доказать, что модуль $M$ над коммутативным кольцом $A$ плоский тогда и только тогда, когда модуль $M_P$ свободный над $A_P$ для любого простого $P$ (под $A_P$ и $M_P$ подразумеваются локализации кольца и модуля).

Схема доказательства в одну сторону без промежуточных обоснований: $M_P$ свободный $\Rightarrow$ в нём нет нетривиальных соотношений $\Rightarrow$ он плоский $\Rightarrow$ $M$ плоский.

Та же самая схема пройдёт и в обратную сторону, если из отсутствия нетривиальных соотношений в модуле следует, что он свободный (т.е. он представим в виде прямой суммы некоторого числа колец и в нём есть базис). Но правда ли это и если да, то почему? Все упомянутые модули не обязательно конечнопорождённые.