Вопросы о внутреннем произведении форм и векторов

[Slav-27]

Metford
Это $d(L_X\omega)=L_X(d\omega)$, для любых форм.

[Metford]

А это доказывается, исходя из определения производной Ли? Которое через отображение $\varphi^*_t$ формулируется, где $\varphi_t$ - локальная группа преобразований, порождённая полем $X$.

[Slav-27]

Да.

Metford в сообщении #1172544 писал(а):

Которое через отображение $\varphi^*_t$ формулируется...

Первое называется пуллбэк, а второе локальный поток (диффеоморфизмов).

-- 28.11.2016, 23:33 --

Ну да, можно просто для 1-форм проверить, хоть в координатах.

[Metford]

Slav-27, спасибо! Я тут ещё Стернберга посмотрел - вроде всё становится на свои места. А для 1-форм я проверил, это совсем не сложно.

Slav-27 в сообщении #1172560 писал(а):

Называется пуллбэк.

Я об этом знаю, но меня коробит от этого слова. Либо символом обозначаю, как выше сделал, либо "возврат формы" - в книгах и такое встречал. Не очень выразительно, но всё лучше... Насчёт потока - спасибо за напоминание. Это название почему-то в памяти не удерживается.

И ещё вопрос. Он уже не то чтобы к внутреннему произведению относится, но не без него. Вот есть равенство

$$d\omega(X,Y)=\partial_X\omega(Y)-\partial_Y\omega(X)-\omega([X,Y]).$$

Мне оно встречалось ещё в чуть другом виде - с множителем 2 в левой части. Я так понял, что отличие связано с тем, как вводится внешнее произведение форм - с факториалами при альтернировании тензорного произведения или нет (в сноске в книге Кобаяси, Номидзу сказано). До конца ещё не проследил, почему это так. Потом для левоинвариантных форм выводится уравнение Маурера-Картана. Оно у всех выглядит одинаково:

$$d\omega(X,Y)=-\frac{1}{2}\omega([X,Y]).$$

Откуда здесь берётся $1/2$, если исходить из того варианта формулы, который я привёл?
И раз уж речь зашла. У этого уравнения более или менее наглядный смысл есть или это просто некое равенство?

[g______d]

Metford в сообщении #1172567 писал(а):

Первое называется пуллбэк

Metford в сообщении #1172567 писал(а):

Я об этом знаю, но меня коробит от этого слова. Либо символом обозначаю, как выше сделал, либо "возврат формы" - в книгах и такое встречал.

По-моему, более традиционное "обратный образ". А pushforward -- прямой образ.

[Munin]

(Оффтоп)

Ну вот, ещё один участник форума, перед которым у меня комплекс неполноценности...

(Оффтоп)

Англоязычную терминологию надо любить, нам всем на неё переходить рано или поздно...

[Slav-27]

(Оффтоп)

Времени у меня не было. Вам оно, может, уже не надо, да вдруг ещё кто будет читать.

Metford в сообщении #1172567 писал(а):

Откуда здесь берётся $1/2$, если исходить из того варианта формулы, который я привёл?

Ниоткуда не берётся. Если $\omega$ -- левоинвариантная форма, а $X$ -- левоинвариантное поле, то $\omega(X)$ константа, соответственно первые 2 члена в правой части предыдущей формулы зануляются, вот и всё.

Почему константа: $\omega(X)|_g=(L_a^*\omega)(X)|_g=\omega(L_a_*X)|_{ag}=\omega(X)|_{ag}$.

Рассуждать о смысле я, наверно, не готов. Вон там ничего интересного не находится? http://en.wikipedia.org/wiki/Maurer%E2%80%93Cartan_form

[Metford]

(Оффтоп)

Я кое в чём за это время подразобрался, но всё равно спасибо за ответ!

Оказалось, что всё, действительно, утыкается в то, как определяется внешнее произведение форм. Специально покопался в нескольких книгах. Эта двойка если не появляется в одном месте, то появляется в другом - это если речь идёт об обычных дифференциальных формах. А вот для тангенциальнозначных 1-форм - там что так, что этак всё равно получается уравнение с коэффициентом $1/2$.
С выводом уравнения разобрался - фактически Вашу выкладку проделал.

Статью, ссылку на которую Вы привели, я смотрел уже. Пришёл к выводу, что смысл где-то там в теории связностей сидит. Но с этим пока тяжеловато идёт. Я тут уже задавал вопрос недавно, мне назвали литературу - разбираюсь.

Зато возник другой вопрос. Не в первый раз уже встречаю утверждение, что форма Маурера-Картана на группе $GL(n)$ представляется в виде

$$\theta=g^{-1}dg,$$

но объяснений не нахожу и сам сообразить пока не могу.

[Slav-27]

Ничего тут особо интересного.

Эта ваша форма Маурера-Картана $\theta$ -- это вот что такое: она вектору $v$, касательному к группе $G$ в точке $g$, сопоставляет вектор $\theta(v)=L_{g^{-1}*}v$ (касательный к $G$ в единице).

Пусть наша группа -- группа невырожденных матриц $n\times n$ (то есть $GL(n)$), тогда вектор $v$ тоже можно считать матрицей $n\times n$ (из $\mathfrak{gl}(n)$).
При таком соглашении $L_{g^{-1}*}v=g^{-1}\cdot v.$ (Это тут -- единственное содержательное утверждение!)
Итак $\theta(v)=g^{-1}v$; считая $g$ независимой переменной, можем обозначить тождественную форму (переводящую $v$ в $v$) через $dg$: вот и получается $\theta=g^{-1}dg$.

Пример: если взять мультипликативную группу вещественных чисел, то будет $\theta=\frac{dx}x.$

[Metford]

Slav-27 в сообщении #1179741 писал(а):

При таком соглашении $L_{g^{-1}*}v=g^{-1}\cdot v.$ (Это тут -- единственное содержательное утверждение!)

Пока что до конца не осознал. Вроде как получается, что из касательного вектора в произвольной точке $g\in G$ "выделяется" часть, переносящая его из единицы в эту самую точку. Только, во-первых, не понимаю, как это формализовать, а во-вторых, как-то на ересь смахивает в такой формулировке (поэтому заранее приношу извинения...).

[Slav-27]

Metford в сообщении #1179755 писал(а):

Вроде как получается, что из касательного вектора в произвольной точке $g\in G$ "выделяется" часть, переносящая его из единицы в эту самую точку.

Совершенно вас не понял.

Рассмотрим, например, одномерие: пусть $G=\mathbb R_{>0}$. Там для каждого $a\in(0;\infty)$ задана функция $L_a:(0;\infty)\to (0;\infty)$, $L_a(x)=ax$.
Пусть некоторый вектор, касательный к $(0;\infty)$ в точке $p$, имеет (в обычном базисе $\frac\partial{\partial x}|_p$) координату $v$. Тогда его образ относительно $L_a_*\equiv dL_a$ имеет координату $av$. Доказательство: $L_a'(x)=a$, $dL_a(x)=a\,dx$.

[Metford]

Да я вчера и сам понимал, что явно что-то нехорошее говорю...
Спасибо, Slav-27, теперь понял.