2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Почему такая подстановка убирает сингулярность?
Сообщение25.11.2016, 23:59 


09/08/11
78
Есть уравнение:
$$\frac{d^2}{d\rho^2}R(\rho)+\frac5\rho\frac d{d\rho}R(\rho)+\frac{4L}{\rho^2} R(\rho)+2ER(\rho)-\frac2\rho U R(\rho)=0,$$
где $U$ и $L$ — заданные постоянные матрицы, а $R$ — вектор. Краевые условия: $R(0)$ конечно, $R(+\infty)=0$. $E$ — собственное число.
Это задача из вот этой статьи. Около $\rho=0$ функция $R(\rho)$ имеет сингулярности в форме ряда из $\rho^a(\ln\rho)^b$ (разложение Бартлетта-Фока). Поэтому авторы статьи предлагают для нахождения $E$ вычислять вместо $R$ матрицу $F(\rho)$, определённую таким образом:
$$\rho\frac d{d\rho}R(\rho)=F(\rho)R(\rho).$$
После подстановки получаем новое уравнение:
$$\rho\frac{dF(\rho)}{d\rho}+(F(\rho))^2+4F(\rho)+4L+2E\rho^2-2\rho U(\rho)=0,$$
автоматически дающее и начальное условие:
$$(F(0))^2+4F(0)+4L=0.$$
Из этих уравнений для $F(\rho)$ можно вычислить $E$, ища значения, при которых полюс функции $F$ уходит на бесконечность (методом стрельбы). Полюс этой функции фактически соответствуют нулю функции $R$, поскольку определение $F$ очень похоже на определение логарифмической производной (с точностью до множителя $\rho$), поэтому так мы находим фактически $E$, которое позволяет $R$ удовлетворить краевому условию на бесконечности.

Мне вроде даже удалось воспроизвести результаты из статьи (правда, другой, аналогичной — для S-состояний, для простоты) по вычислению $E$, но возникает один большой вопрос: почему это вообще работает? $F$, судя по статье, аналитична около $\rho=0$. Почему использование (аналога) логарифмической производной убирает сингулярность в нуле? Ведь если найти логарифмическую производную от $\rho^a(\ln\rho)^b$, то она определённо не будет аналитичной в нуле, даже после умножения на $\rho$.

И ещё вопрос: а как можно это уравнение решить (численно, конечно) сразу для $R$, минуя вообще всякие $F$? Тут проблема в том, что с какой бы точки ни начинать решение, везде требуется знать мало того, что значение функции, так ещё и её производную (ибо уравнение второго порядка). Я пытался начать решение где-то в далеке от нуля, устанавливая там значение функции $0$, но результат оказывается сильно зависимым от соотношения производных от компонент вектора $R$, так что похоже, что этот вариант плох...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group