Алгебра. Фактор кольца колец многочленов

[ArshakA]

Поясните разницу фактор колец $Z[x]/(x^2 - 2x + 2) $ и $Z[x]/(x^2 - 2x + 5) $ . И то и другое остатки от деления на квадратный трёхчлен, а следовательно двучлены вида $ax+b$. Почему же первое изоморфно $Z[i]$ , а второе нет?

[Brukvalub]

Для начала, покажите здесь, почему и как изоморфны кольца $Z[x]/(x^2 - 2x + 2) $ и $Z[i]$ ?

[ArshakA]

Ну по-моему $Z[x]/(x^2 - 2x + 2) $ это просто $ \left\lbrace[ax+b] }}\right\rbrace $, где
$[ax+b]+[cx+d]=[(a+b)x+(b+d)]$
$[ax+b][cx+d]=[(ac)x^2 + (ad+bc)x + (bd)] = [(ad+bc+2ac)*x + (bd - 2ac)]$
$0 = 0*x+0$
$1 = 0*x + 1$
Ну хотелось бы просто отправить $x$ в $i$ и всё отлично, только умножение (блин) не сохраняется

Пока не понял вообщем. Я ещё подумаю, может соображу

[Brukvalub]

ArshakA в сообщении #1171707 писал(а):

Пока не понял вообщем. Я ещё подумаю, может соображу

Да, подумайте и скажите. А пока вот вам вопрос попроще: вы предложили представлять элементы фактор-колец линейными двучленами. Тогда чему будет равен квадрат элемента $x$ в каждом из фактор-колец при таком представлении?

[ArshakA]

Ну понятно $2x-2 $ и $2x-5$ соответственно

[adfg]

ArshakA в сообщении #1171707 писал(а):

Ну по-моему $Z[x]/(x^2 - 2x + 2) $ это просто

Выделите из своего трехчлена полный квадрат, и сразу увидите нужный изоморфизм

[ArshakA]

adfg
Понял!
$Z[x]/(x^2 - 2x + 2) = Z[x]/((x - 1)^2 + 1) $
отправляем $x-1$ в $i$
Получаем по теореме о гомоморфизме $Z[x]/((x - 1)^2 + 1) $ изоморфно $Z[i]$
(так как $(x - 1)^2 + 1$ - ядро)

-- 01.12.2016, 13:43 --

Аналогично с кольцом $Z[x]/(x^2 - 2x + 5) $
$ (x-1)^2 + 4 $ будет ядром если отправлять $(x-1)^2$ в $2i$, но тогда $ Im f = \left\lbrace (a+2bi) \right\rbrace$, а не $Z[i]$

[ArshakA]

ArshakA в сообщении #1173306 писал(а):

если отправлять $(x-1)^2$ в $2i$

если отправлять $(x-1)$ в $2i$ (опечатка)