Прямая сумма подпространств

[ikozyrev]

Встретил тут задачку:
Построить естественный изоморфизм $\math U_1+U_2 \simeq (U_1\oplus U_2)/(U_1 \cap U_2)$ где $\math U_i $-подпространства векторного пространства $\math V$

Но ведь сумма подпространств является прямой только когда их пересечение нулевое?
А значит и в левой части должна стоять прямая сумма? Зачем тогда такое обозначение вообще?

[Brukvalub]

Просто задача - бессмысленная, только и всего.

[ikozyrev]

Brukvalub в сообщении #1170500 писал(а):

Просто задача - бессмысленная, только и всего.

Хммм, и тем не менее она присутствует в листочке по алгебре первого семестра НМУ:

http://ium.mccme.ru/postscript/f16/alge ... stok08.pdf

[kp9r4d]

А мне кажется задача вполне осмысленной, только я вопроса не понял.
Прямая сумма - это когда по двум векторным пространствам $A,B$ строится некоторое новое абстрактное векторное пространство $A \oplus B$ (её ещё называют внешней прямой суммой).
А сумма попдространств $A,B \subset V$ это просто множество всех векторов $a+b \in V, a \in A, b \in B$ (её ещё называют внутренней суммой подпространств). Конструкции разные и как множества и чисто интуитивно: в левой части стоит подпространство $V$, а в правой некоторое другое абстрактное пространство, полученное чисто алгебраической конструкцией. Нужно показать изоморфизм этих конструкций.

[Mikhail_K]

Ну да, только ТС слышал определение прямой суммы как обычной суммы для подпространств, пересекающихся только по нулю. А для других подпространств прямой суммы как бы и нет.
Иногда так можно себе представлять.

Можно ещё сказать так, в рамках данной идеологии: под $U_1\oplus U_2$ в задаче понимается прямая сумма пространств, пересекающихся по нулю и изоморфных данным.
А так-то эти пространства пересекаются не по нулю.
Тогда задача имеет смысл.

[ikozyrev]

kp9r4d в сообщении #1170503 писал(а):

А мне кажется задача вполне осмысленной, только я вопроса не понял.
Прямая сумма - это когда по двум векторным пространствам $A,B$ строится некоторое новое абстрактное векторное пространство $A \oplus B$ (её ещё называют внешней прямой суммой).
А сумма попдространств $A,B \subset V$ это просто множество всех векторов $a+b \in V, a \in A, b \in B$ (её ещё называют внутренней суммой подпространств). Конструкции разные и как множества и чисто интуитивно: в левой части стоит подпространство $V$, а в правой некоторое другое абстрактное пространство, полученное чисто алгебраической конструкцией. Нужно показать изоморфизм этих конструкций.

Спасибо, вот это ценное указание. Действительно, тогда это все обретает смысл.

[bot]

Ну почему бессмысленная? Можно ведь сумму брать прямую, неважно откуда пространства явились, в каждом из них есть подпространства, изоморфные друг другу.
Отождествляя их, по нему эту абстрагированную сумму и факторизуем.