2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Формулы вычисления производной
Сообщение04.05.2008, 16:35 
Знаю оценку для производной функции, причем если я не ошибаюсь $f$ должна быть дифференцируема (этот класс уэе чем класс аналитических функций?)
$$
\left|f'(x) - \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}\right| \leqslant o(h^2)
$$
А какие есть аналогичные оценки для производных более высокого порядка?

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 16:45 
Mandel писал(а):
причем если я не ошибаюсь $f$ должна быть дифференцируема
$f$ должна быть дифференцируема хотя бы потому, что в оценку входит $f'(x)$.

Mandel писал(а):
этот класс уэе чем класс аналитических функций?
Во народ пошел ...

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 16:47 
Аватара пользователя
Mandel
Для указанной Вами оценки функция $f$ должна быть трижды дифференцируемой, ну, или в крайнем случае её вторая производная должна удовлетворять условию Липшица.

Mandel писал(а):
А какие есть аналогичные оценки для производных более высокого порядка?

Ну вот, например:
$\left|f''(x)-\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}\right| = O(h^2)$ для четырежды дифференцируемой функции $f$.

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 16:47 
Аватара пользователя
Mandel писал(а):
Знаю оценку для производной функции, причем если я не ошибаюсь $f$ должна быть дифференцируема (этот класс уэе чем класс аналитических функций?)
Если учесть, что аналитическая функция обязательно бесконечно дифференцируема, то, наоборот, класс аналитических функций Уже :(

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 16:54 
Так.А для $n$-производной какой будет $o(???)$

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 17:15 
Для функции $f(x)=x^3$ ваша оценка, Mandel, не выполняется при $x=0$.

Добавлено спустя 15 минут 25 секунд:

Лучшее, что я могу посоветовать.
Тут требования к функции невелики, но и вывод не сильный.

Пусть $f$ - функция, определенная в окрестности точки $x$. Обозначим:
$f_{1,x}(h)=f(x+h)-f(x-h)$ --- "нечетная часть"
$f_{2,x}(h)=f(x+h)+f(x-h)$ --- "четная часть"
$f(x+h)=\frac12(f_{1,x}(h)+f_{2,x}(h))$

Пусть $k$ нечетно.
Пусть имеет место представление $f_{1,x}(h)=a_1h+a_3\frac{h^3}{3!}+\cdots+a_k\frac{h^k}{k!}+o(h^k)$.

Здесь числа $a_{2l-1}$ заведомо будут существовать и будут равны $f^{(2l-1)}(x)$, если эта производная существует (у нас $2l-1=1,3,\ldots,k$), хотя могут существовать и сами по себе.

Тогда
$$\left|a_k-\tfrac{1}{h^k}\sum_{j=0}^k(-1)^jC_k^jf\bigl(x+(k/2-j)h\bigr)\right|=o(1)$$

Аналогично, если $k$ четно, и
$f_{2,x}(h)=b_0+b_2\frac{h^2}{2!}+\cdots+b_k\frac{h^k}{k!}+o(h^k)$, то снова
$$\left|b_k-\tfrac{1}{h^k}\sum_{j=0}^k(-1)^jC_k^jf\bigl(x+(k/2-j)h\bigr)\right|=o(1)$$

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 17:15 
Аватара пользователя
AD писал(а):
Для функции $f(x)=x^3$ ваша оценка, Mandel, не выполняется при $x=0$.

Кстати, да! Mandel, справа дожлно быть не
$\leqslant o(h^2)$,
а
$= O(h^2)$.

А ещё я ошибся сначала, сказав, что для Вашей оценки функция должна быть дважды дифференцируемой. Она должна быть трижды дифференцируемой, я там уже исправился.

Цитата:
А для $n$-производной какой будет $o(???)$

Ну вот в соседней теме предлагается формула с оценкой, правда, как раз для аналитических (на комплексной плоскости) функций. Я про ту формулу, правда, ничего вразумительного сказать не могу (не знаю, верна ли она вообще), ибо не разбирался.

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 17:21 
Все об этом молчат, но надо отметить, что все оценки подразумеваются при $h\to0$.

Добавлено спустя 2 минуты 51 секунду:

worm2 писал(а):
А ещё я ошибся сначала, сказав, что для Вашей оценки функция должна быть дважды дифференцируемой. Она должна быть трижды дифференцируемой, я там уже исправился.
Кстати, чтобы вывести в оценке Mandelя $O(h)$, вроде бы достаточно существования второй производной в окрестности $x$, ограниченной в окрестности $x$.

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 17:31 
Аватара пользователя
AD писал(а):
Кстати, чтобы вывести в оценке Mandelя $O(h)$, вроде бы достаточно существования второй производной в окрестности $x$, ограниченной в окрестности $x$.

Существования $f''(x)$ (в одной точке $x$) достаточно для того, чтобы выполнялась оценка $o(h)$ (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 18:00 
Мда, действительно. Че-то я активно в этой теме ошибаюсь.

Добавлено спустя 25 минут 8 секунд:

RIP писал(а):
Существования $f''(x)$ (в одной точке $x$) достаточно для того, чтобы выполнялась оценка $o(h)$ (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
То есть, проще и сильнее говоря, достаточно формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

 
 
 
 
Сообщение05.05.2008, 10:50 
Так формул похожих для производных более высокого порядка нет через так называемые $\Delta_n$ разности.
Например,
$$
\Delta_1 = f(x+h) - f(x).
$$
$$
\Delta_2(x) = \Delta_1(x+h) -\Delta_1(x) 
$$

 
 
 
 
Сообщение05.05.2008, 11:44 
Mandel писал(а):
Так формул похожих для производных более высокого порядка нет через так называемые $\Delta_n$ разности.
У нас формулы через симметричные разности, то есть
$\Delta_1(f;x,h)=f(x+h)-f(x-h)$,
$\Delta_2(f;x,h)=f(x+h)-2f(x)+f(x-h)$,
$\ldots$
$\Delta_k(f;x,h)=\sum\limits_{j=0}^k(-1)^jC_k^jf\bigl(x+(k/2-j)h\bigr)$,
$\ldots$

С ними точнее получается.

Можно и через ваши разности при желании формулы написать.

Постарайтесь лучше разобраться, как эти формулы и оценки получаются. А то вдруг мы вам лапшу на уши вешаем? Да и вообще сами научитесь ;)

 
 
 
 
Сообщение05.05.2008, 13:24 
Цитата:
У нас формулы через симметричные разности, то есть

Ну так а где сами формулы? ;)

 
 
 
 
Сообщение05.05.2008, 20:02 
Имеются ввиду все упомянутые в этой теме формулы.

А именно:

Mandel писал(а):
$$ \left|f'(x) - \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}\right| = O(h^2) $$


worm2 писал(а):
$\left|f''(x)-\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}\right| = O(h^2)$


AD писал(а):
$$\left|a_k-\tfrac{1}{h^k}\sum_{j=0}^k(-1)^jC_k^jf\bigl(x+(k/2-j)h\bigr)\right|=o(1)$$
$$\left|b_k-\tfrac{1}{h^k}\sum_{j=0}^k(-1)^jC_k^jf\bigl(x+(k/2-j)h\bigr)\right|=o(1)$$


Добавлено спустя 14 минут 39 секунд:

Кстати, если я все правильно понимаю, то в моих формулах для $a_{k-2}$ и $b_{k-2}$ будут оценки типа $O(h^2)$, то есть
$$\left|a_{k-2}-\tfrac{1}{h^{k-2}}\sum_{j=0}^{k-2}(-1)^jC_{k-2}^jf\bigl(x+(k/2-1-j)h\bigr)\right|=O(h^2)$$
и
$$\left|b_{k-2}-\tfrac{1}{h^{k-2}}\sum_{j=0}^{k-2}(-1)^jC_{k-2}^jf\bigl(x+(k/2-1-j)h\bigr)\right|=O(h^2)$$
при условии разложимости в ряд Тейлора четных и нечетных частей до $k$-го члена, а лучше уже не будет ни при какой гладкости.

 
 
 
 
Сообщение05.05.2008, 21:14 
а что лучше в данном контексте: $o(\frac{1}{n^2})$ или $o(\frac{1}{n^n})$.
Я полагаю, что второе!?

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group